Аналогичные зависимости описывают распределения температуры
в сердцевине волокна
T
0
(
r, ϕ
) = (
A
0
r
+
B
0
/r
) cos
ϕ,
(7)
в его кольцевом слое
T
v
(
r, ϕ
) = (
A
v
r
+
B
v
/r
) cos
ϕ
(8)
и в слое материала матрицы
T
m
(
r, ϕ
) = (
A
m
r
+
B
m
/r
) cos
ϕ.
(9)
В центре волокна температура ограничена, поэтому в соотноше-
нии (7)
B
0
≡
0
. Таким образом, в равенства (6)–(9) входят шесть
неизвестных коэффициентов
B
,
A
0
,
A
v
,
B
v
,
A
m
и
B
m
, подлежащих
определению из граничных условий на цилиндрических поверхно-
стях с радиусами
r
0
,
r
v
и
r
m
в предположении идеальности теплового
контакта на этих поверхностях.
При
r
=
r
0
из условий непрерывности распределения температу-
ры и радиальной составляющей вектора плотности теплового потока
следует
T
0
(
r
0
, ϕ
) =
T
v
(
r
0
, ϕ
);
λ
•
1
∂T
0
/∂r
|
r
=
r
0
=
λ
◦
1
∂T
v
/∂r
|
r
=
r
0
.
Откуда с использованием равенств (7) и (8) при
B
0
≡
0
находим
A
0
=
A
v
+
B
v
/r
2
0
;
A
0
= (
λ
◦
1
/λ
•
1
)(
A
v
−
B
v
/r
2
0
)
.
(10)
Из аналогичных условий при
r
=
r
v
с учетом формул (8) и (9)
имеем
A
v
+
B
v
/r
2
v
=
A
m
+
B
m
/r
2
v
;
A
v
−
B
v
/r
2
v
= (
λ
m
/λ
◦
1
)(
A
m
−
B
m
/r
2
v
)
.
(11)
Наконец, из подобных условий при
r
=
r
m
и соотношений (6) и (9)
получим
A
m
+
B
m
/r
2
m
=
G
+
B/r
2
m
;
A
m
−
B
m
/r
2
m
= (
λ
1
/λ
m
)(
G
−
B/r
2
m
)
.
(12)
Последовательным исключением неизвестных из равенств (10)–
(12) находим
B/
(
Gr
2
m
) = (
e
λ
1
(1+
DC
V
)
−
1+
DC
V
)
/
(
e
λ
1
(1+
DC
V
)+1
−
DC
V
)
,
(13)
где
e
λ
1
=
λ
1
/λ
m
;
D
=
1 + ˉ
λ
•
1
/
ˉ
λ
1
+ (1
−
ˉ
λ
•
1
/
ˉ
λ
1
)ˉ
r
2
−
( ˉ
λ
1
−
ˉ
λ
•
1
) + ( ˉ
λ
1
−
ˉ
λ
•
1
)ˉ
r
2
1 + ˉ
λ
•
1
/
ˉ
λ
1
+ (1
−
ˉ
λ
•
1
/
ˉ
λ
1
)ˉ
r
2
+ ( ˉ
λ
1
−
ˉ
λ
•
1
)
−
( ˉ
λ
1
−
ˉ
λ
•
1
)ˉ
r
2
.
Замена составной частицы равновеликим цилиндром с внешним ра-
диусом
r
m
и искомым коэффициентом теплопроводности
λ
1
приведет
к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
