Рис. 1. Квадратная ячейка
по отношению к оси, параллельной
волокнам, если их взаимное располо-
жение является хаотическим, т.е. но-
сит случайный характер. При упоря-
доченном расположении волокон это
свойство будет сохранено, когда цен-
тры их круговых поперечных се-
чений одинаковым радиусом
r
0
со-
впадают с узлами плоской сетки с
одинаковыми ячейками в виде пра-
вильных многоугольников, поскольку
ось, проходящая через центр таких
многоугольников перпендикулярнa их
плоскости, имеет порядок выше вто-
рого [18]. Ограничимся рассмотрением расположения волокон, соот-
ветствующего сетке с одинаковыми квадратными ячейками.
В случае квадратных ячеек со стороной
2
l
при касании сосед-
них волокон
r
v
=
l
и максимально достижимое значение объемной
концентрации волокон составит
C
V
=
π/
4
≈
0
,
7854
. Тогда заданно-
му значению
C
V
≤
C
V
будет соответствовать относительный ради-
ус волокна
ˉ
r
=
r
v
/l
=
p
4
C
V
/π
. С учетом этого повторяющийся
элемент структуры композита представим в координатной плоскости
X
1
OX
2
квадратной ячейкой (рис. 1) с длиной стороны, равной едини-
це. Ячейка содержит четверть кругового поперечного сечения волокна
с центром в начале координат и относительным радиусом
ˉ
r
. Относи-
тельный радиус поперечного сечения сердцевины волокна обозначим
через
ˉ
r
0
=
r
0
/l
. Стороны ячейки
x
1
= 0
и
x
1
= 1
примем идеаль-
но теплоизолированными, а на сторонах
x
2
= 0
и
x
2
= 1
зададим
температуры, равные нулю и
T
0
соответственно.
В рассматриваемом случае одну из оценок величины
λ
1
можно по-
лучить, если принять, что при установившемся температурном состоя-
нии в этой ячейке все изотермы параллельны координатной оси
OX
1
.
Такое распределение температуры допустимо для минимизируемого
функционала [14, 15], входящего в двойственную вариационную фор-
мулировку стационарной задачи теплопроводности в ячейке. Поэтому
соответствующая оценка будет верхней по отношению к величине
λ
1
.
Верхнюю оценку величины
λ
1
можно представить в виде
λ
=
= 1
/R
−
, где
R
−
— нижняя оценка термического сопротивления ячей-
ки (см. рис. 1), которое последовательно включает в себя термическое
сопротивление
R
m
= (1
−
ˉ
r
)
/λ
m
полосы единичной длины шириной
1
−
ˉ
r
с коэффициентом теплопроводности
λ
m
матрицы и термиче-
ское сопротивление
R
двух полос единичной длины шириной
ˉ
r
−
ˉ
r
0
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
