Для построения нижней оценки величины
λ
1
необходимо исполь-
зовать распределение вектора плотности теплового потока в рассма-
триваемой ячейке, допустимое для максимизируемого функционала
[14, 15], входящего в двойственную вариационную формулировку ста-
ционарной задачи теплопроводности в этой ячейке. Такое распределе-
ние можно получить, если разбить квадратную ячейку (см. рис. 1) си-
стемой адиабатических плоскостей, параллельных координатной оси
OX
2
. Тогда термическая проводимость ячейки будет суммой прово-
димости
Y
m
=
λ
m
(1
−
ˉ
r
)
полосы единичной длины шириной
1
−
ˉ
r
с коэффициентом теплопроводности
λ
m
матрицы и проводимости
Y
двух полос единичной длины шириной
ˉ
r
0
и
ˉ
r
−
ˉ
r
0
. Первая полоса
проводимостью
Y
•
содержит четверть кругового поперечного сечения
сердцевины волокна с коэффициентом теплопроводности
λ
•
1
, часть по-
перечного сечения кольцевого слоя волокна с коэффициентом тепло-
проводности
λ
◦
1
и фрагмент поперечного сечения матрицы, а вторая
полоса проводимостью
Y
◦
— часть поперечного сечения кольцевого
слоя волокна и оставшийся фрагмент поперечного сечения матрицы.
Таким образом,
Y
=
Y
•
+
Y
◦
.
Для вычисления величины
Y
◦
выделим полосу единичной дли-
ны шириной
dx
1
, включающей в себя два участка (см. рис. 1) дли-
ной
p
ˉ
r
2
−
x
2
1
с коэффициентом теплопроводности
λ
◦
1
и длиной
1
−
p
ˉ
r
2
−
x
2
1
с коэффициентом теплопроводности
λ
m
. Для терми-
ческой проводимости этой полосы запишем
dY
◦
=
dx
1
p
ˉ
r
2
−
x
2
1
/λ
◦
1
+ (1
−
p
ˉ
r
2
−
x
2
1
)
/λ
m
,
а для всей полосы шириной
ˉ
r
−
ˉ
r
0
после интегрирования по
x
1
в
пределах от
ˉ
r
0
до
ˉ
r
—
Y
◦
=
λ
m
ˉ
r
Z
ˉ
r
0
dx
1
1 +
b
1
p
ˉ
r
2
−
x
2
1
=
2
λ
m
b
1
arctg
r
1
−
b
1
ˉ
r
0
1 +
b
1
ˉ
r
0
p
1
−
(
b
1
ˉ
r
0
)
2
−
arctg
r
1
−
b
1
ˉ
r
1 +
b
1
ˉ
r
p
1
−
(
b
1
ˉ
r
)
2
,
где
b
1
= 1
/
ˉ
λ
1
−
1
. Отметим, что при
b
1
>
1
/
ˉ
r
0
или только при
b
1
>
1
/
ˉ
r
в приведенной формуле аргумент арктангенса и знаменатель дроби, в
которую входит арктангенс, станут чисто мнимыми. В этом случае [19]
arctg
p
(1
−
b
1
ˉ
r
0
)
/
(1 +
b
1
ˉ
r
0
)
p
1
−
(
b
1
ˉ
r
0
)
2
=
1
2
p
(
b
1
ˉ
r
0
)
2
−
1
ln
√
b
1
ˉ
r
0
+ 1 +
√
b
1
ˉ
r
0
−
1
√
b
1
ˉ
r
0
+ 1
− √
b
1
ˉ
r
0
−
1
(19)
и аналогичная формула с заменой радиуса
ˉ
r
0
радиусом
ˉ
r
. Такая же
ситуация возникнет при
b >
1
/
ˉ
r
0
или только при
b >
1
/
ˉ
r
в форму-
ле для термического сопротивления
R
◦
. Тогда следует использовать
равенство (19) с заменой величины
b
1
величиной
b
.
84
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
