[10, 15–17], включающей в себя минимизируемый и максимизируемый
функционалы, которые достигают на истинном решении задачи совпа-
дающие экстремальные значения. При этом верхняя оценка соответ-
ствует предположению об однородности в представительном элементе
композита векторного поля градиента температуры, а нижняя — поля
вектора плотности теплового потока.
Большое отличие значения
ˉ
λ
1
от единицы приводит к тому, что
разность верхней и нижней оценок
e
λ
+
1
−
e
λ
−
1
отношения
e
λ
1
=
λ
1
/λ
m
при промежуточных значениях
C
V
возрастает, что существенно сни-
жает достоверность оценки значения
λ
1
. Более достоверную оценку
можно получить на основе математической модели, описывающей те-
пловое взаимодействие представительного элемента структуры компо-
зита с однородным материалом, коэффициент теплопроводности кото-
рого подлежит определению. Представительный элемент выберем в
виде достаточно протяженной в направлении расположения волокон
цилиндрической составной частицы. Поперечное сечение этой части-
цы включает в себя соответствующий волокну круг радиусом
r
v
с
сердцевиной радиусом
r
0
, окруженный кольцевым слоем матрицы с
наружным радиусом
r
m
. Таким образом, модель структуры композита
содержит четыре фазы: сердцевина волокна; кольцевые слои волок-
на и матрицы; неограниченный массив однородного материала. При
этом для объемной концентрации волокон в композите с учетом слоя
матрицы будет справедливо равенство
C
V
= (
r
v
/r
m
)
2
.
Центр поперечного сечения составной частицы поместим в начале
полярной системы координат, обозначив через
r
и
ϕ
радиальную и
угловую координату соответственно. Примем, что на большом рассто-
янии
r r
m
от начала координат задан вектор градиента температур-
ного поля в однородном материале, направленный по оси, от которой
происходит отсчет угловой координаты, т.е. при
r
→ ∞
установивше-
еся распределение температуры в этом материале описывает функция
T
∞
(
r, ϕ
) =
Gr
cos
ϕ
, где
G
— модуль вектора градиента. Указанная
функция удовлетворяет уравнению Лапласа в полярных координатах
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
+
1
r
2
∂
2
T
∂ϕ
2
= 0
.
(5)
По мере приближения к составной частице в однородном ма-
териале нарастает возмущение температурного поля, описываемое
также удовлетворяющим уравнению (5) дополнительным слагаемым
Δ
T
(
r, ϕ
) = (
B/r
) cos
ϕ
, где
B
— подлежащий определению постоян-
ный коэффициент. Следовательно, температурное поле в однородном
материале, удовлетворяющее заданному условию при
r
→ ∞
и урав-
нению (5), описывает функция
T
(
r, ϕ
) =
T
∞
(
r, ϕ
) + Δ
T
(
r, ϕ
) = (
Gr
+
B/r
) cos
ϕ.
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
79
