однородном материале с тем же значением
λ
1
. Тогда в равенстве (6)
следует принять
Δ
T
(
r, ϕ
) = 0
, что равносильно условию
B
= 0
, кото-
рое с учетом формулы (13) позволяет записать
e
λ
1
= (1
−
DC
V
)
/
(1 +
DC
V
)
.
(14)
При однородном волокне
r
0
= 0
, тогда из формулы (14) следует
e
λ
•
1
= (1 + ˉ
λ
1
−
(1
−
ˉ
λ
1
)
C
V
)
/
(1 + ˉ
λ
1
+ (1
−
ˉ
λ
1
)
C
V
)
.
(15)
В частном случае неограниченной длины волокон равенство (15) со-
впадает с формулой, полученной в работе [10]. При
ˉ
λ
•
1
→
0
формула
(14) в виде
e
λ
◦
1
=
2
−
(1
−
ˉ
λ
1
)(1
−
ˉ
r
2
)
−
(2
−
(1 + ˉ
λ
1
)(1
−
ˉ
r
2
))
C
V
2
−
(1
−
ˉ
λ
1
)(1
−
ˉ
r
2
) + (2
−
(1 + ˉ
λ
1
)(1
−
ˉ
r
2
))
C
V
(16)
соответствует случаю полого волокна с круговой цилиндрической по-
лостью радиусом
r
0
. При
r
0
= 0
формула (16) переходит в равенство
(15). Предельным переходом при
ˉ
λ
•
1
→ ∞
из формулы (14) получим
равенство
e
λ
1
=
1
−
ˉ
r
2
+ ˉ
λ
1
(1 + ˉ
r
2
)
−
(1
−
ˉ
r
2
−
ˉ
λ
1
(1 + ˉ
r
2
))
C
V
1
−
ˉ
r
2
+ ˉ
λ
1
(1 + ˉ
r
2
) + (1
−
ˉ
r
2
−
ˉ
λ
1
(1 + ˉ
r
2
))
C
V
,
(17)
соответствующее случаю бесконечно большой теплопроводности
сердцевины волокна. При
r
0
= 0
равенство (17) также совпадает
с равенством (15).
Представленные выше оценки и формулы (14)–(17) сохраняют
смысл во всем промежутке изменения от 0 до 1 объемной концен-
трации
C
V
волокон в композите, что предполагает возможность
уменьшения радиуса волокон от некоторого конечного значения
r
0
до бесконечно малого. При таком предположении сохраняет смысл
значение
C
V
= 1
, когда композит будет состоять только из волокон.
Реальный однонаправленный волокнистый композит обычно состо-
ит из волокон примерно одинакового радиуса, что ограничивает их
наибольшую возможную объемную концентрацию значением
C
V
<
1
.
Предельно плотная укладка цилиндрических волокон с круговым
поперечным сечением одинакового радиуса соответствует значению
C
Δ
V
=
π/
(2
√
3)
≈
0
,
907
, когда центры поперечных сечений касающих-
ся между собой соседних волокон одинакового радиуса расположены в
вершинах равносторонних треугольников. Однако из условия прочно-
сти при растяжении композита в направлении волокон каждое волокно
должно быть окружено связующим, образующим матрицу [3], поэтому
реальное значение
C
V
< C
Δ
V
.
Учет взаимного расположения волокон.
Однонаправленный во-
локнистый композит обладает свойством трансверсальной изотропии
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 4
81
