Более детально картины течений, индуцированных диффузией в кли-
новидной впадине, рассчитаны аналитически в работе [21].
Классификация инфинитезимальных компонентов периодиче-
ских течений.
Из условия совместности следует, что полностью ли-
неаризованная форма системы (7)–(10), включающая в себя уравнение
состояния с постоянными коэффициентами теплового расширения, со-
левого сжатия и адиабатической сжимаемости (влиянием которой да-
лее пренебрегается) и уравнения неразрывности, Навье – Стокса, те-
плопроводности и диффузии имеет десятый порядок [19]. Решения
линеаризованной системы с малыми коэффициентами при старших
пространственных производных находятся методами теории сингуляр-
ных возмущений, позволяющей найти корни, регулярные по малому
параметру
μ
задачи
k
=
k
0
+
μk
1
+
μ
2
k
2
+
. . . ,
(16)
и сингулярные
k
z
=
μ
β
k
0
+
μk
1
+
μ
2
k
2
+
. . . , β >
0
,
(17)
характеристического (дисперсионного) уравнения, необходимые для
построения полного решения. Значение коэффициента
γ
определяется
при подстановке (17) в исследуемую систему из условия старшинства
полученного главного члена разложения [22].
Для прямого учета пространственного затухания расчеты малых
периодических течений проводят с использованием действительной
частоты
ω
и комплексного волнового вектора
k = (
k
x
, k
y
, k
z
)
,
k = k
1
+
+
i
k
2
. Переменные представляются в мультипликативном виде
v = v
0
τ
(
r, t
)
,
ˉ
p
=
p
0
τ
(
r, t
)
,
ˉ
ρ
=
ρ
0
τ
(
r, t
)
, τ
(
r, t
) = exp (
i
(kr
−
ωt
))
.
(18)
Решение линеаризованной системы (7)–(10) в приближении Бусси-
неска в безграничной среде находится в виде разложений по плоским
волнам
A
=
X
j
+
∞
Z
−∞
+
∞
Z
−∞
a
j
(
k
x
, k
y
) exp(
i
(
k
zj
(
k
x
, k
y
)
z
+
+
k
x
x
+
k
y
y
−
ωt
))
dk
x
dk
y
,
(19)
где
A
— компоненты скорости, давление, температура, соленость или
плотность. Суммирование в разложении (19) выполняется по всем кор-
ням дисперсионного уравнения, выражающего условие разрешимости
линеаризованной системы, которые удовлетворяют граничным усло-
виям задачи или условию излучения в безграничной среде (затухания
всех возмущений на бесконечности).
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
