Дисперсионное соотношение для линеаризованной системы
(7)–(10), включающей в себя уравнения переноса теплоты и веще-
ства, имеет вид [19]
D
ν
(
k, ω
)
F
(
k, ω
) = 0;
(20)
F
(
k, ω
) =
=
−
D
ν
(
k, ω
)
D
κ
T
(
k, ω
)
D
κ
S
(
k, ω
)
k
2
+
i
k
z
(Λ
T
+ Λ
S
)
Λ
T
Λ
S
+
+
D
κ
T
(
k, ω
)
ωk
z
Λ
S
D
ν
(
k, ω
)
−
N
2
S
k
2
?
+
+
D
κ
S
(
k, ω
)
ω k
z
Λ
T
D
ν
(
k, ω
)
−
N
2
T
k
2
?
;
(21)
D
ν
(
k, ω
) =
−
iω
+
νk
2
;
D
κ
T
(
k, ω
) =
−
iω
+
κ
T
k
2
;
D
κ
S
(
k, ω
) =
−
iω
+
κ
S
k
2
;
k
2
=
k
2
x
+
k
2
y
+
k
2
z
.
В пренебрежении всеми диссипативными эффектами дисперсион-
ное уравнение десятой степени (20) переходит в квадратное уравне-
ние, описывающее внутренние волны в идеальной жидкости (и другие
виды волн — инерциальные, поверхностные гравитационные, акусти-
ческие и гибридные с учетом вращения и сжимаемости [19]). Ему
соответствуют два регулярно возмущенных решения дисперсионного
уравнения и системы дифференциальных уравнений (14) с гранич-
ными условиями, которые определяют форму конического пучка пе-
риодических внутренних волн. Масштаб течения задается размером
источника, а малый коэффициент затухания
(
|
k
1
|
|
k
2
|
)
— кинетиче-
скими коэффициентами (
γ
=
i
(
ν
+
κ
T
+
κ
S
)
k
2
).
Оставшиеся восемь корней уравнения (20), мнимая часть которых
не мала (
|
k
1
|
|
k
2
|
), относятся к классу сингулярно возмущенных.
В них значения волновых чисел обратно пропорциональны кинетиче-
ским коэффициентам
ν
,
κ
T
,
κ
S
. Такие корни определяют мелкомас-
штабные компоненты решения, задающие тонкую структуру среды. В
безграничной среде четыре из них, нарушающие условие затухания
на бесконечности, отбрасываются. Остальные решения образуют две
различные группы.
Из уравнения (20), в котором присутствует множитель
D
ν
(
k, ω
) = 0
,
следует, что не только на границах, но и в толще текущей вязкой
жидкости всегда присутствуют тонкоструктурные высокоградиентные
компоненты – аналоги периодического течения Стокса на осциллиру-
ющей поверхности [7]. Поперечные размеры таких компонентов опре-
деляются кинематической вязкостью и частотой волны
δ
ν
ω
=
p
ν
/
ω
(или частотой плавучести
δ
ν
N
=
p
ν
/
N
), а положение в жидкости —
граничными условиями.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
87
