2) уравнение Навье – Стокса в векторной записи
∂p
i
∂t
+
∂
Π
αi
∂x
α
=
ρf
i
;
(3)
3) уравнение Фурье — переноса полной энергии (внутренняя энер-
гия
e
, кинетическая энергия движения и потенциальная энергия среды
в полях внешних сил) элементарного объема жидкости
ε
∂ρε
∂t
+
∂
∂x
i
εp
i
+
J
i
(
ε
)
= 0
.
(4)
Баланс компонентов определяется обобщенным уравнением Фика
∂ρ
(
n
)
∂t
+
∂
∂x
i
p
i,n
+
J
i
(
n
)
= 0;
ρ
=
X
ρ
(
n
)
,
(5)
где
Π
ij
=
p
i
p
j
/ρ
+
P δ
ij
−
σ
ij
— тензор потока импульса;
σ
ij
— тензор
вязких напряжений;
p
i,n
— импульс
i
-й примеси;
f
i
— внешняя сила
(силы плавучести и сила Кориолиса).
При расчете потока энергии, когда необходимо учитывать измене-
ние внутренней энергии, используется второе начало термодинамики
для необратимых процессов — условие положительной определенно-
сти производства энтропии
P
(
s
)
, которое в дифференциальной форме
имеет вид
∂ρs
∂t
+
∂
∂x
i
sp
i
+
J
(
s
)
=
P
(
s
)
,
(6)
где
s
— энтропия единицы массы;
J
(
ε
)
,
J
(
n
)
и
J
(
s
)
— потоки энергии,
n
-й примеси и энтропии;
P
(
s
)
— производство энтропии.
Система уравнений (1)–(5) записана в предположении существо-
вания локального термодинамического равновесия, учитывающего,
что характерные атомно-молекулярные процессы быстрые и времена
установления равновесия существенно меньше времен механических
процессов, формирующих градиенты термодинамических величин. В
предположении малости градиентов определяющие уравнения систе-
мы (2)–(6) принимают традиционную форму [7]:
ρ
=
ρ
(
P, S, T
)
,
∂ρ
dt
+
∂p
i
∂x
i
= 0;
(7)
∂
(
p
i
)
∂t
+
p
j
ρ
r
j
p
i
=
−r
i
P
+
ρ g
i
+
ν
Δ (
p
i
) + 2
ε
ijk
p
j
Ω
k
+
f
i
;
(8)
∂ρT
∂t
+
r
j
(
p
j
T
) = Δ (
κ
T
ρT
) +
Q
T
;
(9)
∂ρS
i
∂t
+
r
j
(
p
j
S
i
) = Δ (
κ
S
ρS
i
) +
Q
S
i
.
(10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
77
