8 / 20
где
Φ
— заданное значение случайной величины;
ˉΦ
— переменная инте-
грирования случайной величины;
М
i
,
σ
i
— математическое ожидание
и среднее квадратическое отклонение случайной величины для
i
-й
степени разрушения сооружений, определяемые на основании стати-
стической обработки результатов экспериментов и натурных данных.
Оценки параметров закона (
М
, σ
) можно получить, используя
функцию правдоподобия
L
(
M, σ
) =
n
Y
j
=1
L
j
(Φ
j
, M, σ
)
,
(2)
где
n
— общее число элементов выборки, подвергнутых воздействию
поражающего фактора интенсивностью
Φ; Φ
j
—
j
-е опытное значе-
ние интенсивности поражающего фактора;
L
j
(Φ
j
, M, σ
)
— вероятность
разрушения здания, если при воздействии поражающего фактора
Φ
j
оно получило не менее заданной степени повреждения (событие
А
),
либо вероятность его неразрушения, если при том же значении
Φ
j
оно получило степень повреждения менее заданной или не получи-
ло повреждений вовсе (событие
A
);
M
— математическое ожидание
случайной величины
Φ
;
σ
— среднее квадратическое отклонение слу-
чайной величины
Φ
.
Функция
L
j
(Φ
j
, M, σ
)
определяется по формуле
L
j
(Φ
j
, M, σ
) =
P
A
(Φ
j
, M, σ
);
1
−
P
A
(Φ
j
, M, σ
)
,
(3)
причем
L
j
принимает верхнее значение, если наступило событие
A
,
нижнее значение, — если событие
A
; значения вероятностей
P
A
(Φ
j
, M, σ
)
находятся по формуле (1).
В качестве математического ожидания
M
и среднего квадратиче-
ского отклонения
σ
принимаются такие их значения, которые дают
максимум функции правдоподобия
L
(
M, σ
)
(2). Параметры
M
и
σ
определяются путем решения системы уравнений
∂L
(
M, σ
)
∂M
= 0;
∂L
(
M, σ
)
∂σ
= 0
.
Для практических расчетов предлагается следующий алгоритм.
1. Разделение рассматриваемых выборок (случайных величин) на
два массива: в массив
X
1
включаются опыты с событиями
A
, в которых
конструкции получили не менее чем заданную степень повреждения,
в массив
X
2
— опыты с событием
A
, в которых конструкции получили
менее заданной степени повреждения.
2. Задание минимального (
M
min
) и максимального (
M
max
) значений
математического ожидания случайной величины, минимального (
σ
min
)
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 1