ческой модели теплопроводности консолидированных наноструктур-
ных материалов на макроуровне необходимо объединение двух этих
подходов.
Математическая модель.
Для получения уравнения теплопровод-
ности воспользуемся соотношениями рациональной термодинамики
необратимых процессов для среды с параметрами термодинамическо-
го состояния [4–6]. Выбор этого подхода объясняется тем, что такая
модель позволяет связать макроскопическое поведение тел с рядом
микроструктурных процессов, которые протекают на молекулярном и
субмолекулярном уровнях.
В зависимости от структуры материала — кристаллической, аморф-
ной и др. — приложенные внешние механические и тепловые нагрузки
вызывают соответствующие структурные изменения. На макроуровне
эти изменения описываются конечным, хотя и (в общем случае) до-
статочно большим числом параметров. Характер этих параметров и
их изменение вследствие приложения к телу внешних термомехани-
ческих воздействий определяется при анализе соответствующих про-
цессов на макроуровне.
В соответствии с указанным подходом массовая плотность энтро-
пии
h
=
−
∂A/∂T
и вводится параметр термодинамического состоя-
ния
κ
, определяющий неравновесный процесс аккумуляции теплоты
на микроуровне. В линейном приближении характер изменения
κ
во
времени можно описать уравнением
t
T
˙
κ
+
A
44
κ
= ˉ
κ,
(1)
где
t
T
— время релаксации параметра состояния;
(˙) =
∂
( )
/∂t
;
A
44
—
параметр, характеризующий размер наночастиц (
0
< A
44
6
1
); при
увеличении размера наночастиц
A
44
→
1
;
ˉ
κ
– равновесное значе-
ние параметра
κ
. Для полимерных материалов имеет смысл учиты-
вать спектр времен релаксации, в случае кристаллических материалов
можно ограничиться рассмотрением одного значения времени релак-
сации [7].
Закон сохранения энергии в предлагаемой модели имеет вид [4, 6]
ρT
∂h
∂t
=
−
∂q
i
∂x
i
+
q
V
, i
= 1
,
2
,
3
,
(2)
где
ρ
— плотность;
x
i
— декартовы прямоугольные координаты;
q
V
—
объемная плотность мощности источников (стоков) теплоты, напри-
мер, обусловленных термомеханической связанностью или фазовыми
превращениями второго рода, характерным признаком которых явля-
ется изменение типа кристаллической решетки (оно может быть ини-
циировано охлаждением или нагревом тела).
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
21
