Процесс распространения теплоты будем ассоциировать с векто-
ром
~κ
, характеризующим, например, решеточный (фононный) меха-
низм переноса энергии:
t
q
˙
κ
i
+
A
ij
κ
i
= ˉ
κ
i
, j
= 1
,
2
,
3
,
(3)
где
t
q
— время релаксации параметра
~κ
;
A
ij
=
A
ji
;
det
A
ij
>
0
;
ˉ
κ
i
—
равновесные значения составляющих вектора
~κ
.
Положим, что составляющие вектора плотности теплового потока
линейно зависят от
κ
i
, но так как вектор
~κ
характеризует процесс
переноса энергии на молекулярном и субмолекулярном уровне, а
q
—
на макроуровне, то переход от одного уровня в другому представим в
интегральной форме
q
i
=
Z
V
ϕ
ij
(
|
x
0
−
x
|
)
κ
j
(
x
0
, t
)
dV
(
x
0
)
,
(4)
где
ϕ
ij
(
|
x
0
−
x
|
)
6
= 0
при
(
|
x
0
−
x
|
)
2
V
0
и
ϕ
ij
(
|
x
0
−
x
|
) = 0
при
(
|
x
0
−
x
|
)
/
2
V
0
,
x
0
2
V
0
,
V
0
— объем наночастицы,
x
0
6
=
x
;
V
—
характерный объем среды.
Далее равновесные значения переменных микроуровня
ˉ
κ
и
ˉ
κ
i
по-
ложим зависящими от
T
(
x, t
)
и
∂T
(
x, t
)/
∂x
j
следующим образом:
ˉ
κ
(
x, t
) =
Z
V
ϕ
T
(
|
x
0
−
x
|
)
T
(
x
0
, t
)
dV
(
x
0
)
,
ˉ
κ
i
(
x, t
) =
−
Z
V
Z
ij
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂x
0
j
dV
(
x
0
)
,
(5)
где
ϕ
T
(
|
x
0
−
x
|
)
6
= 0
и
Z
ij
(
|
x
0
−
x
|
)
6
= 0
только при
(
|
x
0
−
x
|
)
2
V
0
и
x
0
2
V
0
.
Соотношения, аналогичные (4) и (5), используют в механике де-
формируемого твердого тела при построении нелокальных зависимо-
стей компонент тензора напряжений от компонент тензора деформа-
ции [8, 9]. В общем случае эти соотношения определяют зависимость
активных переменных от интегральных (осредненных) значений реак-
тивных переменных, в данном случае
T
,
κ
,
κ
i
и
∂T
/
∂x
i
. Отметим, что
если принять
ϕ
ij
(
|
x
0
−
x
|
) =
ϕ
0
ij
δ
(
|
x
0
−
x
|
)
, ϕ
T
(
|
x
0
−
x
|
) =
ϕ
0
T
δ
(
|
x
0
−
x
|
)
,
Z
ij
(
|
x
0
−
x
|
) =
Z
0
ij
δ
(
|
x
0
−
x
|
)
,
где
δ
(
|
x
0
−
x
|
)
— дельта-функция Дирака, то (4) и (5) переходят в
известные соотношения [10].
Если решить систему уравнений (3) при заданном виде
ˉ
κ
i
из (5),
то получим функциональную зависимость составляющих вектора
~κ
от
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
