градиента абсолютной температуры в виде
κ
j
= ˉ
κ
j
−
Z
V
Z
jk
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂x
0
k
dV
(
x
0
)
, k
= 1
,
2
,
3
.
В состоянии, близком к равновесию
t
q
˙
κ
j
≈
0
, из (3) и (5) имеем
κ
j
(
x, t
) =
−
Z
V
Y
jk
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂x
0
k
dV
(
x
0
)
,
(6)
где
Y
jk
(
|
x
0
−
x
|
) =
B
ji
Z
ik
(
|
x
0
−
x
|
)
,
B
ji
= (
A
ij
)
−
1
.
Из (1) при
t
T
˙
κ
≈
0
с учетом первого равенства (5) получим
κ
(
x, t
) =
1
A
44
Z
V
ϕ
T
(
|
x
0
−
x
|
)
T
(
x
0
, t
)
dV
(
x
0
)
.
(7)
В дальнейшем будем рассматривать только равновесные процес-
сы и сравнительно небольшие отклонения значений абсолютной тем-
пературы от температуры
T
0
естественного состояния. Тогда, задав
A
(
T, κ
) =
T
∙
A
0
(
κ
)
, получим
ρT
∂h
∂t
=
−
ρT
dA
0
dκ
∂κ
∂t
≈ −
ρT
0
dA
0
dκ
∂κ
∂t
=
ρc
∂κ
∂t
,
(8)
где
c
=
−
T
0
dA
0
dκ
— удельная массовая теплоемкость, обусловленная из-
менением вида и границ фононного спектра, т.е. изменением функции
распределения частот колебаний атомов. Подставив в (8) равенство
(7), получим
ρ
c
A
44
Z
V
ϕ
T
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂t
dV
(
x
0
) =
−
∂q
i
∂x
i
+
q
V
.
Комбинируя (4) и (6), имеем
q
i
(
x, t
) =
=
−
Z
V
ϕ
ij
(
|
x
0
−
x
|
)
Z
V
Y
jk
(
|
~x
00
−
x
0
|
)
∂T
(
~x
00
, t
)
∂x
00
k
dV
(
~x
00
)
dV
(
x
0
)
.
(9)
C учетом вышеизложенного уравнение теплопроводности примет
вид
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
23
