Оценка зависимости распространения теплоты в твердом теле
от функций влияния на примере одномерной задачи высокоин-
тенсивного поверхностного нагрева.
Запишем функции влияния в
одномерном случае следующим образом:
ϕ
μ
(
|
x
0
−
x
|
) =
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
) =
=
1
a
1
− |
x
0
−
x
|
a
,
|
x
0
−
x
|
6
a, μ
= 0
,
1
,
2
,
3
,
(12)
где
a
— характерный размер наноструктурного элемента. Тогда урав-
нение теплопроводности (10) примет вид:
ρ
c
A
44
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
∂T
(
x
0
, t
)
∂t
dV
(
x
0
) =
=
λ
(
T
)
∂
∂x
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
Z
V
ϕ
(
|
x
00
−
x
0
|
)
∂T
(
x
00
, t
)
∂x
00
dV
(
x
00
)
dV
(
x
0
)
,
(13)
где
λ
(
T
)
— теплопроводность тела.
Краевые условия для задачи поверхностного нагрева с учетом (9)
запишем следующим образом:
t
= 0
, T
(
x,
0) =
T
0
;
x
= 0
,
−
λ
(
T
)
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
Z
V
ϕ
(
|
x
00
−
x
0
|
)
∂T
(
x
00
, t
)
∂x
00
dV
(
x
00
)
dV
(
x
0
) =
q
S
;
x
=
L,
−
λ
(
T
)
Z
V
ϕ
(
|
x
0
−
x
|
)
Z
V
ϕ
(
|
x
00
−
x
0
|
)
∂T
(
x
00
, t
)
∂x
00
dV
(
x
00
)
dV
(
x
0
) = 0
,
(14)
где
q
S
=
BMt
m
exp (
−
mt/t
0
)
,
m
>
1
,
m
2
N
.
Применив к уравнению (13) и граничным условиям из (14)
конечно-элементную процедуру в форме метода Бубнова–Галеркина,
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений пер-
вого порядка:
[
C
]
n
˙
T
o
+ [
K
]
{
T
}
=
{
F
}
,
где
[
C
]
,
[
K
]
— матрицы, характеризующие теплоемкость и теплопро-
водность исследуемого тела;
{
T
}
,
n
˙
T
o
— векторы неизвестных узло-
вых значений температуры и скорости ее изменения;
{
F
}
— вектор
тепловой нагрузки. Компоненты
F
p
вектора
{
F
}
и
C
pq
,
K
pq
матриц
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
