ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
УДК 539.3:536.2
В. С. З а р у б и н, Г. Н. К у в ы р к и н,
И. Ю. С а в е л ь е в а
НЕЛОКАЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
На основе соотношений рациональной термодинамики и модели
среды с внутренними параметрами состояния предложена мате-
матическая модель теплопроводности в наноструктурных мате-
риалах. Модель интегрально учитывает взаимное влияние процес-
сов, протекающих на макро- и микроуровнях. Выполнена оценка
зависимости распространения теплоты в твердом теле от функ-
ций влияния на примере одномерной задачи высокоинтенсивного
поверхностного нагрева.
E-mail:
Ключевые слова
:
наноструктурные материалы, моделирование термоме-
ханических процессов, теплопроводность, теплоемкость.
Успехи в создании новых материалов с использованием нанотех-
нологий [1, 2] стимулируют разработку и новых математических мо-
делей, описывающих температурные поля в деталях и элементах кон-
струкций из консолидированных наноструктурных материалов. Эти
математические модели должны учитывать две существующие про-
тивоположные концепции описания структуры любого твердого те-
ла — концепции непрерывности и дискретности [3]. С одной стороны,
большинство технических объектов представляются состоящими из
сплошного материала и для определения температурных полей в них
используют “макроскопические” функции состояния — абсолютную
температуру
T
(
x, t
)
, массовую плотность энтропии
h
(
x, t
)
, массо-
вую плотность внутренней (
u
(
x, t
)
) и свободной (
A
(
x, t
)
) энергии,
вектор плотности теплового потока
q
(
x, t
)
с составляющими
q
i
(
x, t
)
(
i
= 1
,
2
,
3
) и, возможно, некоторые другие функции, зависящие от
координат, заданных радиус-вектором
x
, и времени
t
. С другой сто-
роны, для наноразмерных объектов процесс распространения теплоты
ассоциируется с такими понятиями, как вектор плотности распреде-
ления фононов при фононном (решеточном) механизме распростра-
нения теплоты, и аналогичными представлениями об электронном и
некоторых других механизмах переноса энергии. Аккумуляцию те-
плоты ассоциируют с увеличением кинетической энергии колебаний
атомов или молекул наноструктурных элементов — возрастанием ча-
стоты и амплитуды их колебаний. Поэтому для построения математи-
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
