фиксации
t
≥
1
определяются как решения следующей задачи Коши:
X
((
n
0
+ 1)
τ
0
) =
a
0
X
(
n
0
τ
0
)
, n
0
2 {
1
,
2
, . . .
}
;
Y
((
n
1
+ 1)
τ
1
) =
a
1
Y
(
n
1
τ
1
) +
b
1
X
(
n
1
τ
1
)
, n
1
2 {
1
,
2
, . . .
}
;
X
(0) =
X
0
;
Y
(0) = 0
.
(1)
Комплексные параметры
a
0
= (1
−
Mi
0
)(1
−
AE
0
) + 2
Mi
0
(1
−
AE
0
)(1
−
γ
0
)
,
a
1
= (1
−
Mi
1
)(1
−
AE
1
) + 2
Mi
1
(1
−
AE
1
)
,
b
1
= 2
Mi
0
(1
−
AE
0
)
γ
0
(2)
полностью определяют характер динамики сумммарной численности
как популяции нормальных, так и популяции аномальных клеток,
образующих изучаемую популяционную систему. В (1) и (2) исполь-
зованы следующие обозначения: верхний индекс
j
2 {
0
,
1
}
относится
к характеристикам
j
-й клеточной популяции, где значение
j
= 0
со-
ответствует популяции нормальных, а
j
= 1
— аномальных клеток;
τ
j
— средняя продолжительность клеточного цикла в
j
-й популяции,
а
n
j
— номер среднего клеточного цикла в ней;
X
(
n
0
τ
0
)
— числен-
ность популяции нормальных клеток в момент фиксации
t
=
n
0
τ
0
;
Y
(
n
1
τ
1
)
— численность популяции аномальных клеток в момент фик-
сации
t
=
n
1
τ
1
;
Mi
j
— доля клеток в
j
-й популяции, разделившихся на
временном интервале длительности
τ
j
;
AE
j
— доля клеток в
j
-й попу-
ляции, погибающих на временном интервале продолжительностью
τ
j
;
γ
0
— доля нормальных клеток в изучаемой популяционной системе,
переходящих на временном интервале длительностью
τ
0
в процессе
деления в популяцию аномальных клеток.
Для определения возможных вариантов протекания процессов из-
менения суммарных численностей нормальных и аномальных клеток,
образующих изучаемую популяционную систему, целесообразно ма-
тематическую модель (1) заменить непрерывным аналогом. Используя
стандартные методы такого перехода [4], получаем
dX
(
t
)
dt
=
1
τ
0
(
a
0
−
1)
X
(
t
)
, t >
0;
dY
(
t
)
dt
=
1
τ
1
(
a
1
−
1)
Y
(
t
) +
b
1
X
(
t
)
, t >
0;
X
(0) =
X
0
;
Y
(0) = 0
,
(3)
где
t
— текущее время, единица которого соответствует средней про-
должительности клеточного цикла популяции нормальных клеток.
Для удобства анализа выполним в (3) замену времени
t
=
τ
0
t
, а
также введем новые переменные
x
=
X/X
0
,
y
=
Y/X
0
, где
X
0
— число
32
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
