Итерационное решение одной неклассической задачи для уравнения колебаний струны

1 / 11

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 519.63
ИТЕРАЦИОННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ НЕКЛАССИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
В.И. Васильев, В.В. Попов, М.С. Еремеева, А.М. Кардашевский
Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,
Якутск, Российская Федерация
e-mail:
Рассмотрена неклассическая задача для гиперболичеcкого уравнения второго
порядка, в которой кроме граничных условий на концах струны заданы допол-
нительные условия: в начальный момент времени — скорость движения стру-
ны, в конечный момент времени — смещение струны. Для численного решения
поставленной задачи предложен итерационный метод, ранее использованный
авторами настоящей статьи для решения ретроспективной задачи теплопро-
водности. Приведены примеры расчетов для модельных задач, в том числе со
случайными погрешностями во входных данных.
Ключевые слова: обратные задачи, неклассическая задача, конечно-разностный
метод, метод сопряженных градиентов, случайные погрешности.
ITERATIVE SOLUTION OF A NONCLASSICAL PROBLEM
FOR THE EQUATION OF STRING VIBRATIONS
V.I. Vasilyev, V.V. Popov, M.S. Eremeeva , A.M. Kardashevskiy
North-Eastern Federal University n.a. M.K. Ammosov, Yakutsk,
Russian Federation
e-mail:
The article considers a nonclassical problem of the second-order hyperbolic equation,
where some additional conditions are given as a supplementary to the boundary
conditions at the ends of the strings: at the initial time it is the speed of the string, at
the final time — displacement of the string. The iterative method is proposed for the
numerical solution of the problem. This method was previously used by the authors
of this article to address the retrospective thermal conductivity problem. Sample
calculations of model problems including the ones with random errors in the input
data are given.
Keywords: inverse problems, nonclassical problem, finite difference method,
conjugate gradient method, random errors.
Введение. Неклассическая задача с заданной скоростью точек
струны в начальный момент времени и смещением струны на конеч-
ный момент времени для гиперболического уравнения, как и задача
Дирихле, относится к классу условно корректных задач математиче-
ской физики [1, 2]. Общий подход к решению таких некорректных
задач базируется на использовании градиентных итерационных ме-
тодов. Основу градиентных итерационных методов составляет нахо-
ждение приближенного численного решения некорректных задач из
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3 77