4 / 11
Для численной реализации системы линейных алгебраических
уравнений (6), (7) воспользуемся итерационным методом сопряжен-
ных градиентов, позволяющим уточнить смещение струны в началь-
ный момент времени. На каждой итерации решается прямая задача
для уравнения колебаний струны с помощью стандартной симметрич-
ной трехслойной разностной схемы, обладающей вторым порядком
аппроксимации по
h
и
τ
[7]. Итак, пусть вместо обратной задачи
рассматривается прямая задача для этого же уравнения, когда второе
условие в (5) заменено начальным условием
y
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
x
∈
ω
h
.
Дискретный аналог прямой задачи имеет вид
ˆ
y
−
2
y
+ ˘
y
τ
2
+
A
(
σ
ˆ
y
+ (1
−
2
σ
)
y
+
σ
˘
y
) = 0
, t
∈
ω
τ
;
(8)
y
(0) =
ϕ, y
(
τ
) =
y
(0) +
τν, x
∈
ω
h
.
(9)
Разностная схема (8), (9) устойчива при выполнении условия [7]
σ
≥
1
4
−
1
τ
2
k
A
k
(10)
и справедлива следующая априорная оценка:
ˆ
Y
(
t
) =
k
Y
(
t
+
τ
)
k
∗
≤ k
Y
(
t
)
k
∗
≤
. . .
≤ k
Y
(
τ
)
k
∗
, t
∈
ω
τ
,
(11)
где
ˆ
Y
∗
— норма,
ˆ
Y
2
∗
=
1
4
k
ˆ
y
+
y
k
2
A
+
τ
2
k
y
t
k
2
R
−
(1
/
4)
A
,
R
=
1
4
E
+
σA.
Тем самым норма решения задачи Коши со временем убывает. Отме-
тим, что для явной разностной схемы (
σ
= 0
) условие устойчивости
(10) принимает вид
τ
≤
h/
√
k
2
.
Итерационный метод.
Для нахождения решения сеточной задачи
(6), (7) используем наиболее быстро сходящийся итерационный ме-
тод вариационного типа — метод сопряженных градиентов [8], осно-
ванный на последовательном уточнении искомого начального условия
ν
(
x
)
с дальнейшим решением на каждой итерации дискретного ана-
лога прямой задачи (8), (9). Придадим этой задаче соответствующую
операторную формулировку. Последовательно исключая промежуточ-
ные значения сеточной функции
y
(
t
)
, t
∈
ω
τ
при заданных значениях
ϕ
и
ν
на конечный момент времени, получаем
y
(
t
n
) = A
ϕ
+B
ν,
где
A
,
B
— операторные полиномы
n
-й и
(
n
−
1)
-й степеней от положитель-
но определенного и самосопряженного оператора
A
. С учетом этого
приближенному решению обратной задачи естественно сопоставить
решение следующего операторного уравнения:
A
ϕ
=
ϕ
(
x
)
−
B
ν
= ˉ
ϕ.
В силу самосопряженности оператора
A
самосопряженным является
и операторный полином
A
.
80
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3