Background Image
Previous Page  3 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 11 Next Page
Page Background

условно корректных задач математической физики [6]. В соответствии

с приведенным ниже простейшим примером эта задача может иметь

неединственное решение. При задании

ν

(

x

)

0

,

ϕ

(

x

)

0

,

k

(

x

)

1

задача (1)–(3) имеет семейство решений, описываемых формулой

u

(

x, t

) =

c

sin(

n

1

πx

) cos(

n

1

πt

)

,

l

=

n

2

,

T

=

n

3

(2

n

4

1)

/

(2

n

1

)

,

c

R, n

1

, n

2

, n

3

, n

4

N.

Разностная задача.

Обозначим

ω

множество внутренних узлов

пространственно-временн´ой сетки

ω

=

ω

h

×

ω

τ

,

где

ω

h

=

{

x

i

=

ih

,

i

= 1

,

2

, . . . , m

1

}

;

ω

τ

=

{

t

j

=

,

j

= 1

,

2

, . . . , n

1

}

;

ω

h

=

{

x

i

=

ih

,

i

= 0

,

1

, . . . , m

}

.

На множестве сеточных функций

y

H

таких, что

y

(

x

) = 0

,

x /

ω

h

, определим сеточный оператор

A

соотношением

Ay

=

(

a

(

x

)

y

ˉ

x

)

x

=

=

1

h

a

(

x

+

h

)

y

(

x

+

h

)

y

(

x

)

h

a

(

x

)

y

(

x

)

y

(

x

h

)

h

, x

ω

h

приняв, например,

a

(

x

) =

k

(

x

0

,

5

h

)

.

В конечномерном сеточном гильбертовом пространстве

H

скаляр-

ное произведение и норму зададим соотношениями

(

y, v

) =

X

x

ω

yvh

,

k

y

k

= (

y, y

)

1

/

2

.

В гильбертовом пространстве

H

оператор

A

является

самосопряженным, положительно определенным (

A

=

A

>

0

) при

0

< k

1

k

(

x

)

k

2

<

и имеет место двухстороннее неравенство

8

k

1

≤ k

A

k

<

4

k

2

/h

2

.

Сначала от исходной неклассической задачи (1)–(3), применив

дискретизацию по пространственной переменной, перейдем к задаче

определения решения дифференциально-операторного уравнения

d

2

y

dt

2

+

Ay

= 0

, x

ω

h

,

0

< t < T

(4)

при заданных дополнительных условиях

dy

dt

(0) =

ν, y

(

T

) =

ϕ, x

ω

h

.

(5)

При использовании симметричной трехслойной разностной схемы

с весовым множителем

σ

дискретный аналог задачи (4), (5) имеет вид

ˆ

y

2

y

+ ˘

y

τ

2

+

A

(

σ

ˆ

y

+ (1

2

σ

)

y

+

σ

˘

y

) = 0

, t

ω

τ

;

(6)

y

(

τ

) =

y

(0) +

τν, y

(

t

n

) =

ϕ, x

ω

h

,

(7)

где

0

σ

1

,

применена безиндексная система обозначений, введен-

ная А.А. Самарским [7]:

ˆ

y

=

y

j

+1

, y

=

y

j

,

˘

y

=

y

j

1

, x

ω

h

, j

= 1

,

2

, . . . , n

1

.

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3

79