3 / 11
условно корректных задач математической физики [6]. В соответствии
с приведенным ниже простейшим примером эта задача может иметь
неединственное решение. При задании
ν
(
x
)
≡
0
,
ϕ
(
x
)
≡
0
,
k
(
x
)
≡
1
задача (1)–(3) имеет семейство решений, описываемых формулой
u
(
x, t
) =
c
sin(
n
1
πx
) cos(
n
1
πt
)
,
l
=
n
2
,
T
=
n
3
−
(2
n
4
−
1)
/
(2
n
1
)
,
c
∈
R, n
1
, n
2
, n
3
, n
4
∈
N.
Разностная задача.
Обозначим
ω
hτ
множество внутренних узлов
пространственно-временн´ой сетки
ω
hτ
=
ω
h
×
ω
τ
,
где
ω
h
=
{
x
i
=
ih
,
i
= 1
,
2
, . . . , m
−
1
}
;
ω
τ
=
{
t
j
=
jτ
,
j
= 1
,
2
, . . . , n
−
1
}
;
ω
h
=
{
x
i
=
ih
,
i
= 0
,
1
, . . . , m
}
.
На множестве сеточных функций
y
∈
H
таких, что
y
(
x
) = 0
,
x /
∈
ω
h
, определим сеточный оператор
A
соотношением
Ay
=
−
(
a
(
x
)
y
ˉ
x
)
x
=
=
−
1
h
a
(
x
+
h
)
y
(
x
+
h
)
−
y
(
x
)
h
−
a
(
x
)
y
(
x
)
−
y
(
x
−
h
)
h
, x
∈
ω
h
приняв, например,
a
(
x
) =
k
(
x
−
0
,
5
h
)
.
В конечномерном сеточном гильбертовом пространстве
H
скаляр-
ное произведение и норму зададим соотношениями
(
y, v
) =
X
x
∈
ω
yvh
,
k
y
k
= (
y, y
)
1
/
2
.
В гильбертовом пространстве
H
оператор
A
является
самосопряженным, положительно определенным (
A
=
A
∗
>
0
) при
0
< k
1
≤
k
(
x
)
≤
k
2
<
∞
и имеет место двухстороннее неравенство
8
k
1
≤ k
A
k
<
4
k
2
/h
2
.
Сначала от исходной неклассической задачи (1)–(3), применив
дискретизацию по пространственной переменной, перейдем к задаче
определения решения дифференциально-операторного уравнения
d
2
y
dt
2
+
Ay
= 0
, x
∈
ω
h
,
0
< t < T
(4)
при заданных дополнительных условиях
dy
dt
(0) =
ν, y
(
T
) =
ϕ, x
∈
ω
h
.
(5)
При использовании симметричной трехслойной разностной схемы
с весовым множителем
σ
дискретный аналог задачи (4), (5) имеет вид
ˆ
y
−
2
y
+ ˘
y
τ
2
+
A
(
σ
ˆ
y
+ (1
−
2
σ
)
y
+
σ
˘
y
) = 0
, t
∈
ω
τ
;
(6)
y
(
τ
) =
y
(0) +
τν, y
(
t
n
) =
ϕ, x
∈
ω
h
,
(7)
где
0
≤
σ
≤
1
,
применена безиндексная система обозначений, введен-
ная А.А. Самарским [7]:
ˆ
y
=
y
j
+1
, y
=
y
j
,
˘
y
=
y
j
−
1
, x
∈
ω
h
, j
= 1
,
2
, . . . , n
−
1
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
79