Background Image
Previous Page  2 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 11 Next Page
Page Background

итерационной минимизации соответствующего функционала. В цикле

работ С.И. Кабанихина и его учеников, например в работе [3], числен-

но исследовано решение задачи Дирихле для волнового уравнения

методами итераций Ландвебера и наискорейшего спуска, проведено

теоретическое исследование устойчивости и сходимости приближен-

ного решения к решению исходной дифференциальной задачи для од-

номерного и двумерного уравнений гиперболического типа второго

порядка.

Для восстановления начального условия задачи теплопроводности

в работе [4] предложен быстро сходящийся итерационный метод ми-

нимальных невязок, продемонстрирована его высокая эффективность

при решении модельных задач. В работе [5] для численного реше-

ния задачи Дирихле для гиперболического уравнения второго поряд-

ка использован итерационный метод сопряженных градиентов. В на-

стоящей работе для численного решения неклассической задачи для

уравнения колебаний струны применен аналогичный подход с итера-

ционным уточнением начального условия. Для поставленной неклас-

сической задачи по заданному решению на конечный момент времени

итерационным методом сопряженных градиентов уточнено значение

решения в начальный момент времени. Результаты вычислительного

эксперимента демонстрируют высокую эффективность предлагаемого

итерационного метода.

Постановка неклассической задачи.

В прямоугольнике

(0

, l

)

×

×

(0

, T

)

ищем функцию

u

(

x, t

)

— решение одномерного гиперболиче-

ского уравнения второго порядка

2

u

∂t

2

∂x

k

(

x

)

∂u

∂x

= 0

,

0

< x < l,

0

< t < T.

(1)

Предположим, что концы колеблющейся струны

x

= 0

, x

=

l

за-

креплены, т.е. выполняются однородные граничные условия первого

рода:

u

(0

, t

) = 0

, u

(

l, t

) = 0

,

0

< t < T.

(2)

В начальный момент времени задана скорость точек струны, а в ко-

нечный момент времени — смещение струны

∂u

∂t

(

x,

0) =

ν

(

x

)

, u

(

x, T

) =

ϕ

(

x

)

,

0

x

l.

(3)

Пусть коэффициент

k

(

x

)

дифференциального уравнения (1) явля-

ется достаточно гладкой, т.е. имеет непрерывные производные до

третьего порядка включительно, положительной, ограниченной функ-

цией и удовлетворяет условиям

0

< k

1

k

(

x

)

k

2

<

. Рассма-

триваемая неклассическая начально-краевая задача относится к классу

78

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3