2 / 11
итерационной минимизации соответствующего функционала. В цикле
работ С.И. Кабанихина и его учеников, например в работе [3], числен-
но исследовано решение задачи Дирихле для волнового уравнения
методами итераций Ландвебера и наискорейшего спуска, проведено
теоретическое исследование устойчивости и сходимости приближен-
ного решения к решению исходной дифференциальной задачи для од-
номерного и двумерного уравнений гиперболического типа второго
порядка.
Для восстановления начального условия задачи теплопроводности
в работе [4] предложен быстро сходящийся итерационный метод ми-
нимальных невязок, продемонстрирована его высокая эффективность
при решении модельных задач. В работе [5] для численного реше-
ния задачи Дирихле для гиперболического уравнения второго поряд-
ка использован итерационный метод сопряженных градиентов. В на-
стоящей работе для численного решения неклассической задачи для
уравнения колебаний струны применен аналогичный подход с итера-
ционным уточнением начального условия. Для поставленной неклас-
сической задачи по заданному решению на конечный момент времени
итерационным методом сопряженных градиентов уточнено значение
решения в начальный момент времени. Результаты вычислительного
эксперимента демонстрируют высокую эффективность предлагаемого
итерационного метода.
Постановка неклассической задачи.
В прямоугольнике
(0
, l
)
×
×
(0
, T
)
ищем функцию
u
(
x, t
)
— решение одномерного гиперболиче-
ского уравнения второго порядка
∂
2
u
∂t
2
−
∂
∂x
k
(
x
)
∂u
∂x
= 0
,
0
< x < l,
0
< t < T.
(1)
Предположим, что концы колеблющейся струны
x
= 0
, x
=
l
за-
креплены, т.е. выполняются однородные граничные условия первого
рода:
u
(0
, t
) = 0
, u
(
l, t
) = 0
,
0
< t < T.
(2)
В начальный момент времени задана скорость точек струны, а в ко-
нечный момент времени — смещение струны
∂u
∂t
(
x,
0) =
ν
(
x
)
, u
(
x, T
) =
ϕ
(
x
)
,
0
≤
x
≤
l.
(3)
Пусть коэффициент
k
(
x
)
дифференциального уравнения (1) явля-
ется достаточно гладкой, т.е. имеет непрерывные производные до
третьего порядка включительно, положительной, ограниченной функ-
цией и удовлетворяет условиям
0
< k
1
≤
k
(
x
)
≤
k
2
<
∞
. Рассма-
триваемая неклассическая начально-краевая задача относится к классу
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3