5 / 11
Для решения операторного уравнения используем трехслойный
итерационный метод сопряженных градиентов, записанный в кано-
ническом виде [8]
ϕ
k
+1
=
α
k
+1
ϕ
k
+ (1
−
α
k
+1
)
ϕ
k
−
1
−
α
k
+1
β
k
+1
r
k
, k
= 0
,
1
, . . . ,
(12)
где
r
k
— невязка,
r
k
= A
ϕ
k
−
ϕ
. Для вычисления итерационных пара-
метров
β
k
+1
, α
k
+1
используются следующие рекуррентные формулы
β
k
+1
=
(
r
k
, r
k
)
(A
r
k
, r
k
)
,
k
= 0
,
1
, . . .
;
(13)
α
k
+1
= 1
−
β
k
+1
β
k
(
r
k
, r
k
)
(
r
k
−
1
, r
k
−
1
)
1
α
k
−
1
, k
= 1
,
2
, . . . , α
1
= 1
.
(14)
В этом итерационном методе вычисление вектора
y
n
k
осуществля-
ется численной реализацией прямой задачи
ˆ
y
k
−
2
y
k
+ ˘
y
k
τ
2
+ A(
σ
ˆ
y
k
+ (1
−
2
σ
)
y
k
+
σ
˘
y
k
) = 0
, t
∈
ω
τ
,
(15)
с начальными условиями
y
0
k
=
ϕ
k
, y
1
k
=
ϕ
k
+
τν, x
∈
ω
h
.
(16)
Следовательно, невязка определяется по формуле
r
k
=
y
n
k
−
ϕ
,
x
∈
ω
h
.
Аналогично выполняется вычисление вектора
z
k
= A
r
k
:
ˆ
z
k
−
2
z
k
+ ˘
z
k
τ
2
+
A
(
σ
ˆ
z
k
+ (1
−
2
σ
)
z
k
+
σ
˘
z
k
) = 0
,
(
x, t
)
∈
ω
hτ
,
(17)
с начальными условиями
z
0
k
=
r
k
, z
1
k
=
r
k
, x
∈
ω
h
.
(18)
Таким образом, в случае неклассической задачи для уравнения коле-
баний струны итерационный метод сопряженных градиентов реализу-
ется в следующем порядке.
1. Полагаем
k
= 0
и задаем начальное приближение искомой функ-
ции
ϕ
k
, x
∈
ω
h
.
2. Запускаем счетчик итераций
k
=
k
+ 1
, последовательно решая
прямые задачи (15), (16) и (17), (18), определяем невязку
r
k
=
y
m
k
−
ϕ
,
x
∈
ω
h
, и вектор
z
k
= A
r
k
,
x
∈
ω
h
.
3. По рекуррентным формулам (13), (14) находим значения итера-
ционных параметров
β
k
+1
, α
k
+1
.
4. По формуле (12) рассчитываем очередное приближение искомого
начального условия
ϕ
(
x
)
k
+1
,
x
∈
ω
h
.
5. Процесс продолжается до тех пор, пока не выполнится критерий
выхода из итерационного цикла
k
r
k
k
< ε
, иначе продолжаем процесс,
возвращаясь к пункту 2.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
81