6 / 11
Примеры расчетов.
Вычислительную эффективность предложен-
ного метода удобно проиллюстрировать на примере численного ре-
шения простейшей неклассической задачи для уравнения колебания
струны. Будем искать приближенное решение задачи для уравнения
∂
2
u
∂t
2
−
∂
2
u
∂x
2
= 0
,
0
< x <
1
,
0
< t < T,
с однородными граничными условиями
u
(0
, t
) = 0
,
u
(1
, t
) = 0
,
0
< t < T,
и дополнительными условиями в начальный и конеч-
ный моменты времени
∂u
∂t
(
x,
0) = 0
, u
(
x, T
) =
ϕ
(
x
)
,
0
≤
x
≤
1
.
В рамках квазиреального вычислительного эксперимента ограничимся
примером численного решения обратной задачи, которая соответству-
ет решению классической прямой задачи для уравнения колебаний
с теми же граничными условиями и двумя условиями в начальный
момент времени:
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
∂u
(
x,
0)
∂t
= 0
,
0
≤
x
≤
1
.
Из решения прямой задачи определяем функцию
ϕ
(
x
)
, которая и при-
сутствует в постановке обратной задачи:
u
(
x, T
) =
ϕ
(
x
)
,
0
≤
x
≤
1
.
Приведем результаты решения обратной задачи в условиях, когда ис-
комая функция
ϕ
(
x
)
имеет разный вид для некоторых значений
T
.
В первом случае зададим искомую функцию в виде финитной функ-
ции
ϕ
(
x
) =
e
−
50(
x
−
l/
2)
2
,
0
≤
x
≤
1
.
В расчетах принято
m
= 100
,
ε
= 0
,
001
.
В качестве начального приближения искомого начального усло-
вия возьмем функцию, отдаленно напоминающую искомую функцию
ϕ
0
= sin(
πx
)
,
0
≤
x
≤
1
.
График (кривая
1
) искомого начального
условия
y
=
ϕ
(
x
)
,
0
≤
x
≤
l
, найденного предложенным итерацион-
ным методом, приведен на рис. 1,
а
, график заданного дополнитель-
ного условия в конечный момент времени (кривая
2
) при
n
= 80
,
T
= 0
,
8
— на рис. 1,
б
. Число итераций 11, время расчета на персо-
нальном компьютере с процессором I7 0,7 с. Аналогичные графики
представлены на рис. 1,
в
при
n
= 180
,
T
= 1
,
8
, в этом случае число
итераций осталось неизменным (11), а время расчета составило 1,55 с.
Результаты расчета, когда искомая функция задана в виде более
сложной функции
ϕ
(
x
) =
−
e
−
100(
x
−
l/
4)
2
+
e
−
20(
x
−
l/
2)
2
−
e
−
100(
x
−
3
l/
4)
2
,
0
≤
x
≤
1
,
приведены на рис. 1,
б
и
г
. В расчетах также принято
m
= 100
,
ε
= 0
,
001
. В этом случае итерации сходятся примерно в 2,5
раза медленнее, при
n
= 80
,
T
= 0
,
8
(см. рис. 1,
б
) и
n
= 180
,
T
= 1
,
8
82
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3