В предположении, что различные элементы системы отказывают
независимо друг от друга, вероятность безотказной работы на интер-
вале
(0
, t
)
(функция надежности) системы далее определяется выра-
жением
P
(
t, ~λ
) =
m
Y
i
=1
h
i
[
P
i
(
t, λ
i
)]
,
(5)
где
~λ
= (
λ
11
, . . . , λ
ik
, . . . , λ
m
1
, . . . , λ
mk
)
— полный вектор (размерности
m
∙
k
) всех параметров надежности
λ
ij
различных элементов системы
в различных режимах;
h
i
(
p
i
)
— функция, выражающая зависимость
вероятности исправной работы
i
-й подсистемы от вероятности
p
i
ис-
правной работы одного ее элемента
[
h
i
(
p
i
) = 1
−
(1
−
p
i
)
n
i
]
. Таким
образом, в данной модели известна зависимость (5) функции надеж-
ности системы от вектора
~λ
параметров надежности ее элементов.
При этом точные значения указанных параметров чаще всего неиз-
вестны, а известны лишь результаты испытаний элементов системы
на надежность, на основе которых далее требуется оценить функцию
надежности системы (5). При этом основной интерес чаще всего пред-
ставляет доверительное оценивание надежности системы снизу.
Далее будем предполагать, что испытания элементов
i
-го типа в
j
-
м режиме (с постоянной нагрузкой
U
j
) проводились в соответствии со
стандартными планами испытаний типа
[
N
ij
, B, T
ij
]
(в обозначении ра-
боты [1]), т.е. на испытания в
j
-м режиме было поставлено
N
ij
элемен-
тов
i
-го типа, испытания проводились с восстановлением отказавших
элементов в течение времени
T
ij
, в результате чего наблюдалось
d
ij
от-
казов. Требуется, исходя из вектора
~d
=
{
d
ij
:
j
= 1
, . . . , k
;
i
= 1
, . . . , m
}
результатов испытаний по всем типам элементов системы, построить
нижнюю доверительную границу (НДГ) функции надежности систе-
мы (5) для того или иного заданного момента времени
t >
0
.
Построение нижней доверительной границы для функции на-
дежности системы.
Обозначим через
L
=
{
~λ
:
λ
ij
>
0
, j
= 1
, . . . , k
;
i
= 1
, . . . , m
}
множество всех возможных значений вектора
~λ
па-
раметров надежности элементов системы. Отметим, что наблю-
даемое при испытаниях
[
N
ij
, B, T
ij
]
случайное число отказов
d
ij
имеет пуассоновское распределение с параметром
Λ
ij
=
N
ij
T
ij
λ
ij
(см., например, [1, 4]). Тем самым общее суммарное число отказов
D
=
m
X
i
=1
k
X
j
=1
d
ij
, наблюдаемое при испытаниях, имеет также пуассо-
новское распределение с параметром
Λ =
m
X
i
=1
k
X
j
=1
N
ij
T
ij
λ
ij
. Обозна-
чим через
Λ
γ
(
d
) =
χ
2
γ
(2
d
+ 2)
2
стандартную верхнюю доверительную
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
61
