(27) выпукла вниз по
z
= (
z
1
, . . . , z
m
)
. В соответствии с известны-
ми результатами теории выпуклого программирования максимум (23)
достигается в одной из “крайних точек” области (24), (25)
z
(
i
)
= (0
, . . . ,
0
,
Λ
γ
(
D
)
,
0
, . . . ,
0)
,
откуда следует доказываемое утверждение. Теорема доказана.
Из теоремы 2 с учетом (14) следует соответствующее выражение
для искомой НДГ для надежности системы
P
(
t, ~d
) = min
i
=1
,...,m
P
i
(
t, ~λ
)
,
(28)
где
P
i
(
t, ~λ
) = exp
−
g
i
[
t,
Λ
γ
]
(29)
— НДГ надежности отдельно взятой
i
-й подсистемы, вычисленная в
предположении, что при испытаниях для элементов этой подсисте-
мы было получено общее число отказов, равное величине
D
, где
g
i
(
t,
Λ
γ
)
— решение задачи максимизации (19)–(22), которое находится
на основе численного алгоритма [5, 6]. В частном случае
k
= 1
фор-
мулы (28), (29) дают известный ранее результат для последовательно-
параллельных систем с нагруженным резервированием внутри раз-
личных подсистем [4]. Из выражений (28), (29) и результатов работ
[5, 6] следует также, что трудоемкость соответствующей процедуры
вычисления НДГ надежности системы (28) возрастает не быстрее чем
линейно с ростом размерности задачи, равной в данном случае ве-
личине
mk
. Для сложных систем, составленных из большого числа
различных подсистем, работающих в различных режимах, указанная
размерность может быть довольно значительной, в связи с чем соот-
ветствующий выигрыш может быть довольно существенным.
Далее рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих изло-
женный выше подход к решению задач данного типа.
Пример 1.
Рассмотрим систему, состоящую из
m
= 4
подсистем.
Число различных режимов
k
= 5
, моменты переключения режимов
τ
1
= 10
,
τ
2
= 20
,
τ
3
= 30
,
τ
4
= 40
. Число образцов, поставленных
на испытания,
N
ij
приведено в табл. 1, время испытаний в каждом
отдельном режиме
T
ij
— в табл. 2, число
d
ij
отказов, наблюдаемых на
испытаниях, — в табл. 3, число резервных элементов
n
i
внутри раз-
личных подсистем — в табл. 4. На рис. 1 приведены графики верхних
доверительных границ для вероятности отказа системы в зависимости
от времени
t
для двух случаев:
1) с использованием априорной информации (1) о монотонном воз-
растании интенсивности отказов при возрастании нагрузки. Иными
словами, решение задачи с ограничениями на параметры интенсивно-
сти отказов (9);
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
