Обозначим через
L
0
L
подмножество всех векторов
~λ
2
L
, удо-
влетворяющих неравенствам (9) и
H
0
(
d
) =
H
(
d
)
∩
L
0
. В соответствии
с общим методом доверительных множеств [3, 4] искомая нижняя
доверительная граница с коэффициентом доверия не меньше
γ
для
функции надежности системы (5) далее может быть выражена как
P
(
t, ~d
) = min
~λ
2
H
0
(
~d
)
P
(
t, ~λ
)
,
(10)
где минимум вычисляется по указанному в (7) доверительному мно-
жеству
H
(
d
)
при дополнительных ограничениях вида (9).
Теорема 1.
Построенная в
(10)
граница удовлетворяет неравен-
ству
P
~λ
n
P
(
t, ~d
)
6
P
(
t, ~λ
)
o
>
γ
(11)
при любом
t >
0
,
~λ
2
L
0
L
.
Доказательство.
Зафиксируем величины
t >
0
и
~λ
2
L
0
L
. По
определению минимума (10) имеют место следующие соотношения
между событиями:
n
~λ
2
H
(
~d
)
o
=
n
~λ
2
H
(
~d
)
∩
L
0
o
(
min
~v
2
H
(
~d
)
∩
L
0
P
(
t, ~v
)
6
P
(
t, ~λ
)
)
=
n
P
(
t, ~d
)
6
P
(
t, ~λ
)
o
,
откуда с учетом (8) следует (11). Теорема доказана.
Таким образом, граница (10) дает нижнюю доверительную границу
с коэффициентом доверия
γ
для функции надежности системы. Суще-
ственно при этом то, что указанная выше дополнительная априорная
информация о монотонном возрастании функции (1) интенсивности
отказов при возрастании действующей на систему нагрузки приводит
к сужению
L
0
исходного пространства параметров
L
и соответственно
к сужению
H
0
(
d
)
доверительного множества
H
(
d
)
вследствие появле-
ния дополнительных ограничений вида (9), что дает значительный
выигрыш при построении доверительной границы для надежности
системы.
Далее для решения задачи на вычисление минимума в (10) удобно
ввести функцию
f
(
t, ~λ
) =
m
X
i
=1
f
i
[Λ
i
(
t, λ
i
1
, . . . , λ
ik
)]
,
(12)
где
f
i
(
z
i
) =
−
ln
h
i
(
e
−
z
i
)
.
(13)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
63
