Теорема 2.
Решение задачи на вычисление максимума
(15)
при
ограничениях
(16)
–
(18)
имеет вид
f
(
t, ~d
) = max
i
=1
,...,m
f
i
g
i
[
t,
Λ
γ
(
D
)]
.
Доказательство.
Указанная основная задача может быть предста-
влена как
f
(
t, ~d
) = max
m
X
i
=1
f
i
[
g
i
(
t, z
i
)]
,
(23)
где максимум берется при ограничениях
m
X
i
=1
z
i
6
Λ
γ
(
D
);
(24)
z
i
>
0
, i
= 1
, . . . , m.
(25)
Из определения вспомогательной задачи (19)–(22) видно, что ее
решение
g
i
(
t, z
i
)
линейно по ограничению
z
i
, а именно
g
i
(
t, z
i
) =
z
i
∙
g
i
(
t,
1)
.
(26)
Чтобы убедиться в этом, достаточно ввести замену переменных
λ
0
ij
=
λ
ij
z
i
,
j
= 1
, . . . , k
. В новых переменных задача (19)–(22) прини-
мает вид
g
i
(
t, z
i
) =
z
i
∙
max
k
X
j
=1
c
ij
(
t
)
λ
0
ij
,
где максимум берется при следующих ограничениях:
k
X
j
=1
N
ij
T
ij
λ
0
ij
= 1;
λ
0
ij
>
0
, j
= 1
, . . . , k
;
λ
0
i
1
6
λ
0
i
2
6
. . .
6
λ
0
ik
,
откуда следует (26). Тем самым целевая функция в (23) может быть
представлена как
f
(
t, ~d
) = max
m
X
i
=1
f
i
[
z
i
∙
g
i
(
t,
1)]
.
(27)
Непосредственным дифференцированием легко показать, что опреде-
ленная в (13) функция
f
i
(
z
i
)
монотонно возрастает и выпукла вниз
по
z
i
>
0
при всех
i
= 1
, . . . , m
. Откуда следует, что функция в (23),
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 3
65
