6 / 13
Выражение (16) представляет собой обобщенный ряд Ватсона для слу-
чая кругового цилиндра, покрытого тонким слоем диэлектрика. Для
упрощения выкладок и сравнения с наблюдаемым в эксперименте по-
ведением границы свет–тень удобно принять, что диэлектрик одно-
роден, а его внешняя граница — круговой цилиндр радиусом
R >
а
.
Поскольку реально наблюдаемые значения полярных углов такие, что
разность
ϕ
−
ϕ
0
не превышает по модулю
2
π
, величину
|
ϕ
−
ϕ
0
|
2
π
в
(16) можно отбросить.
Граница света и тени.
Учитывая, что с точность до
O
δ
a
, где
δ
a
1
, выражение
{
g
μ
(
ϕ
)
g
μ
(
ϕ
0
)
}
1
/
4
может быть приближено вели-
чиной
k
0
a
, ряд (16) преобразуется в контурный интеграл:
−
1
8
Z
C
H
(2)
μ
(
k
0
a
)
H
(1)
μ
(
k
0
a
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
0
)
cos
p
μ
(
ϕ, ϕ
0
)
−
1
2
S
μ
sin(
S
μ
/
2)
dμ,
где
C
— контур, охватывающий линию нулей знаменателя
H
(1)
μ
(
k
0
a
)
,
на которой расположены корни (7) уравнения (6). Из приведенного
интеграла преобразованием
cos
p
μ
(
ϕ, ϕ
0
)
−
1
2
S
μ
=
e
i
2
S
μ
cos
p
μ
(
ϕ, ϕ
0
)
−
ie
ip
μ
(
ϕ,ϕ
0
)
sin
S
μ
2
выделяется оптический интеграл
i
8
Z
C
H
(2)
μ
(
k
0
a
)
H
(1)
μ
(
k
0
a
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
)
H
(1)
μ
(
k
0
r
0
)
e
ip
μ
(
ϕ,ϕ
0
)
dμ,
описывающий геометро-оптическое поле в освещенной области, и ис-
следуемый методом перевала после замены в нем всех цилиндриче-
ских функций их асимптотическими приближениями. Стационарные
точки фазовой функции являются точками пересечения контура
C
с
действительной осью. Уравнение, определяющее положение правой
из них
μ
R
, имеет вид
k
0
q
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
ϕ
Z
ϕ
0
g
−
1
/
2
k
0
q
(
t
)
dt
= arccos
q
r
+ arccos
q
r
0
,
(17)
где
μ
R
=
k
0
q
.
Существуют две возможности привести уравнение (17) к ви-
ду, описывающему реальную геометрию луча, идущего из точки
источника в точку наблюдения, как в случае кругового цилиндра
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5
43