7 / 13
без покрытия (
ε
=
ε
0
), когда уравнение (17) преобразуется к виду
|
ϕ
−
ϕ
0
|
= arccos
q
r
+ arccos
q
r
0
. При этом величина
q
имеет смысл
перпендикуляра, опущенного из центра окружности на направление
луча. Введем эффективный радиус
r
0
0
точечного источника
arccos
q
r
0
−
k
0
q
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
ϕ
Z
ϕ
0
g
−
1
/
2
k
0
q
(
t
)
dt
=
= arccos
q
r
0
(
q
;
ϕ
;
ϕ
0
)
− |
ϕ
−
ϕ
0
|
,
(18)
тогда
|
ϕ
−
ϕ
0
|
= arccos
q
r
+ arccos
q
r
0
,
(19)
как и для цилиндра без покрытия, только с радиусом
r
0
0
вместо ра-
диуса
r
0
. Упрощая интегральный член в уравнении (18) с точностью
до величин порядка
O
((
k
0
δ
))
2
, где
δ
— толщина слоя (здесь константа
оценки зависит от
1
k
2
0
a
q
2
2
и
q > a
), получаем
r
0
0
(
q
;
ϕ
;
ϕ
0
) =
=
r
0
cos
|
ϕ
−
ϕ
0
|
ε
ε
0
−
1
δ
a
+
s
r
2
0
q
2
−
1 sin
|
ϕ
−
ϕ
0
|
ε
ε
0
−
1
δ
a
< r
0
.
Другой способ приведения уравнения (17) к виду (19) с прежним
радиусом
r
0
заключается во введении эффективного угла
ϕ
0
0
положе-
ния точечного источника
μ
R
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
ϕ
Z
ϕ
0
g
−
1
/
2
k
0
q
(
t
)
dt
=
|
ϕ
−
ϕ
0
0
|
,
(20)
отсюда
|
ϕ
−
ϕ
0
0
|
= arccos
q
r
+ arccos
q
r
0
, т.е. вместо угла
ϕ
0
использо-
ван угол
ϕ
0
0
. Упрощая в формуле (20) интегральный член, получаем
|
ϕ
−
ϕ
0
|
n
1 +
ε
ε
0
−
1
δa
q
2
o
= Δ
ϕ
0
, где
Δ
ϕ
0
=
|
ϕ
0
−
ϕ
0
0
|
— сдвиг
положения источника по углу.
Уравнение (17) для правой стационарной точки формально допус-
кает две указанные возможности, поскольку оно одно на две незави-
симых координаты положения источника.
Покажем, что такая двузначность может быть устранена, если ис-
следовать область сходимости асимптотического ряда в области тени,
у которой две границы.
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5