8 / 13
Выражение (16) описывает волновое поле при любых значениях
полярных координат источника и точки наблюдения. Такое решение
при отсутствии диэлектрического покрытия является точным [6]. Оно
распадается на выражение отдельно в области тени и отдельно в осве-
щенной области после замены входящих в него цилиндрических функ-
ций их асимптотиками Дебая. Поступая аналогично с рядом (16), а
также используя в выражении (9) асимптотическое приближение
H
(2)
μ
k
(
k
0
a
)
∂
μ
H
(1)
μ
k
(
k
0
a
)
= (
k
0
a
)
1
/
3
e
5
πi/
6
2
√
π
˜
C
k
,
где
˜
C
k
=
π
3
/
2
3
3
√
6
{
A
0
(
q
k
)
}
2
;
A
(
q
)
— функция Эйри;
q
k
— ее корни, запишем
u
(
r, ϕ
;
r
0
, ϕ
0
) = (
k
0
a
)
1
/
3
ie
5
πi/
6
4
k
0
√
π
e
ik
0
√
r
2
−
a
2
+
√
r
2
0
−
a
2
(
r
2
−
a
2
)
1
/
4
(
r
2
0
−
a
2
)
1
/
4
×
×
X
k
˜
C
k
1
−
e
iS
μ k
exp
iμ
k
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
μ
k
×
×
ϕ
Z
ϕ
0
g
1
/
2
μ
k
(
t
)
dt
−
arccos
a
r
−
arccos
a
r
0
+
+exp
iμ
k
−
arccos
a
r
−
arccos
a
r
0
−
sgn
(
ϕ
−
ϕ
0
)
ϕ
Z
ϕ
0
g
1
/
2
μ
k
(
t
)
dt
−
S
μ
k
μ
k
.
(21)
Для дальнейшего исследования геометрического смысла асимпто-
тического решения (21) перейдем, как и ранее, к случаю однородного
диэлектрического покрытия с круговой границей
ρ
(
ϕ
) =
R
.
Для входящих в показатели экспонент подынтегральных выраже-
ний
g
1
/
2
μ
k
(
t
)
μ
k
= 1
−
ω
2
(
ε
−
ε
0
)(
R
2
−
a
2
)
μ
2
k
1
/
2
(22)
используем традиционное приближение
μ
2
k
≈
(
k
0
a
)
2
, учитывающее
главный член асимптотики корней
μ
k
дисперсионного уравнения (6).
Тогда, учитывая приближение радикала первыми двумя членами бино-
миального ряда в (22) и пренебрегая слагаемыми порядка
O
δ
a
2
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 5
45