9 / 15
Рис. 3. Схема силовых линий маг-
нитного поля, созданного магнит-
ным диполем
2. Применим полученные резуль-
таты к нахождению поля постоянного
магнита, представляющего собой тон-
кую гибкую нить конечной длины. Во
всех точках нити переменный вектор
намагниченности
~M
направлен по ка-
сательной к ней. Примем, что име-
ет место постоянство произведения
MS
=
g
= const
, где
S
— площадь
поперечного сечения в соответствую-
щей точке нити. Последняя комбина-
ция взята для наглядности трактовки
полученных результатов. Магнитный момент элементарного объема
dV
равен
dm
=
MdV
=
MSdl
=
gdl
. В векторном виде
d~m
=
gd~l
.
Тогда с учетом результата, полученного в задаче 1:
dψ
=
~rd~m
4
πr
3
=
g~rd~l
4
πr
3
.
Полный потенциал вычисляется по формуле:
ψ
=
g
4
π
Z
L
~rd~l
r
3
, где ин-
тегрирование ведется вдоль всей нити длиной
L
:
ψ
=
−
g
4
π
Z
L
∇
1
r
, d~l
=
−
g
4
π
r
2
Z
r
1
dl
d
dl
1
r
=
=
g
4
π
1
r
1
−
1
r
2
=
g
4
πr
1
−
g
4
πr
2
.
Таким образом, скалярный потенциал магнитного поля не зависит от
конкретной формы нити, а эквивалентен магнитному полю двух точеч-
ных магнитных зарядов, расположенных на ее начальном и конечном
торцах.
3. Рассмотрим постоянный магнит, представляющий собой тонкую
гибкую поверхность, ограниченную замкнутым контуром
C
. Во всех
точках поверхности переменный вектор намагничивания
~M
направлен
по нормали к ней, причем имеет место постоянство произведения
Mh
=
I
=
const, где
h
— толщина поверхности в соответствующей
точке. Магнитный момент элементарного участка поверхности
dS
ра-
вен
dm
=
MhdS
=
IdS.
В векторном виде
d~m
=
Id ~S
. Тогда с учетом
результата, полученного в задаче 1, имеем
dψ
=
~rd~m
4
πr
3
=
I~rd ~S
4
πr
3
. От-
метим, что вектор
~r
направлен от элемента поверхности
dS
в точку
наблюдения.
4. Далее удобнее ввести противоположный вектор
~r
1
=
−
~r
, на-
правленный от фиксированной точки наблюдения к переменной точке
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6
33