как
δ
(
~r
−
~a
) =
δ
(
r
−
a
)
δ
(
θ
−
θ
0
)
δ
(
ϕ
−
ϕ
0
)
r
2
sin
θ
,
подобный выбор связан с условием нормировки
Z
V
δ
(
~r
−
~a
)
dV
= 1
,
~a
∈
V.
При переходе к
~a
= 0
δ
-функция становится одномерной
δ
(
~r
) =
1
4
πr
2
δ
(
r
) =
−
1
4
πr
δ
0
(
r
)
(так как
δ
(
r
) =
−
rδ
0
(
r
)
, что легко
проверяется интегрированием по частям).
В соответствии с введенным понятием магнитного заряда одно-
значно (как и в случае электрического поля) вытекает существование
скалярного магнитного потенциала
ψ
(
~r
) =
1
4
π
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
R
dV
0
+
1
4
π
I
S
σ
m
(
~r
0
)
R
dS
0
,
(1)
где
~R
=
~r
−
~r
0
— расстояние между точкой наблюдения
~r
и точками
~r
0
∈
V
, расположенными внутри намагниченной среды (тела). В этом
случае напряженность магнитного поля
~H
записывается через
ψ
:
~H
=
− ∇
ψ
=
−
∂
∂~r
ψ
(
~r
) =
−
∂
∂~r
1
4
π
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
R
dV
0
+
1
4
π
I
S
σ
(
~r
0
)
R
dS
0
=
=
−
1
4
π
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
∂
∂~r
1
R
dV
0
−
1
4
π
I
S
σ
(
~r
0
)
~R
R
3
dS
0
=
=
−
1
4
π
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
~R
R
3
dV
0
−
1
4
π
I
S
σ
(
~r
0
)
~R
R
3
dS
0
.
(2)
C учетом того, что
Δ
r
1
R
=
−
4
πδ ~R
для
~r
∈
V
получаем уравнение
Пуассона:
Δ
r
ψ
= Δ
r
1
4
π
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
R
dV
0
+
1
4
π
I
S
σ
m
(
~r
0
)
R
dS
0
=
=
1
4
π
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
−
4
πδ ~R dV
0
+
1
4
π
I
S
σ
m
(
~r
0
)
−
4
πδ ~R dS
0
=
=
−
Z
V
ρ
m
(
~r
0
)
δ ~r
0
−
~r dV
0
−
I
S
σ
m
(
~r
0
)
δ ~r
0
−
~r dS
0
=
=
−
ρ
m
(
~r
)
−
σ
m
(
~r
) =
−
ρ
m
(
~r
)
.
(3)
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6