Использование формализма монополей Дирака в некоторых задачах магнетизма

4 / 15

как
δ(~r − ~a) =
δ (r − a) δ(θ − θ0)δ (ϕ − ϕ0 )
r2 sin θ
,
подобный выбор связан с условием нормировки Z
V
δ(~r − ~a)dV = 1,
~a ∈ V. При переходе к ~a = 0 δ-функция становится одномерной
δ(~r) =
1
4πr2 δ(r) = −
1
4πr
δ0 (r) (так как δ (r) = −rδ0 ( r) , что легко
проверяется интегрированием по частям).
В соответствии с введенным понятием магнитного заряда одно-
значно (как и в случае электрического поля) вытекает существование
скалярного магнитного потенциала
ψ (~r) =
1
4π Z
V
ρ m (~r 0)
R
dV 0 +
1
4π IS
σm (~r 0)
R
dS0 , (1)
где ~R= ~r − ~r 0 — расстояние между точкой наблюдения ~r и точками
~r 0 ∈ V , расположенными внутри намагниченной среды (тела). В этом
случае напряженность магнитного поля ~Hзаписывается через ψ:
~H= − ∇ψ= −
∂
∂~r
ψ(~r) = −
∂
∂~r  1
4π Z
V
ρm(~r0)
R
dV 0+
1
4π IS
σ( ~r0)
R
dS0 =
= −
1
4π Z
V
ρ m(~r0 )
∂
∂~r
1
R
dV 0 −
1
4π IS
σ(~r0)
~R
R3 dS0 =
= −
1
4π Z
V
ρm(~r0)
~R
R3
dV 0 −
1
4π IS
σ (~r0)
~R
R3
dS0. (2)
C учетом того, что Δr
1
R
= −4πδ ~R для ~r ∈ V получаем уравнение
Пуассона:
Δr ψ = Δr  1
4π Z
V
ρm(~r0)
R
dV 0 +
1
4π I
S
σ m (~r0 )
R
dS0 =
=
1
4π Z
V
ρm(~r0) −4πδ ~R dV 0 +
1
4π I
S
σm (~r0) −4πδ ~R dS0 =
= − Z
V
ρm(~r0)δ ~r0 − ~r dV 0 − IS
σm(~r0)δ ~r0 − ~r dS0 =
= −ρm (~r) − σ m(~r) = −ρm(~r) . (3)
28 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6