3 / 14
колебаний системы, полученные в работе [5] с использованием ме-
тода гомотопических возмущений. Сформулирована обратная задача
восстановления характеристик потока жидкости в трубе по спектраль-
ным данным. Предположено, что регистрируемые данные могут быть
неполными, спектры колебаний системы содержат кратные частоты,
шумы отсутствуют. Описаны гибридные алгоритмы глобальной опти-
мизации, интегрирующие стохастический алгоритм сканирования про-
странства переменных и процедуры локального поиска. Приведены
результаты решения модельной задачи восстановления характеристик
потока по ограниченному спектру низших, заданных с погрешностью,
собственных частот колебаний прямолинейной трубы с протекающей
жидкостью.
Математическая модель.
Рассмотрим собственные изгибные
колебания прямолинейной однородной трубы длиной
l
, свободно
опертой на концах. Предположим, что протекающая через трубу
жидкость является идеальной, несжимаемой, полностью занимаю-
щей внутренний объем трубы. При моделировании трубы балкой
Эйлера – Бернулли задача определения собственных частот колеба-
ний системы сводится к решению дифференциального уравнения в
частных производных [1, 5]:
EI
∂
4
w
∂Z
4
+
ρ
f
A
f
V
2
∂
2
w
∂Z
2
+ 2
ρ
f
A
f
V
∂
2
w
∂Z∂t
+
M
∂
2
w
∂t
2
= 0
,
(1)
где
EI
— изгибная жесткость трубы;
w
(
Z, t
)
— прогиб трубы;
Z
—
координата вдоль осевой линии трубы;
t
— время;
ρ
f
— плотность
жидкости;
A
f
— площадь проходного сечения трубы;
V
— скорость
потока;
M
— полная масса трубы с жидкостью, приходящаяся на еди-
ницу длины
l
трубы. После введения безразмерных переменных
η
=
w
l
;
ξ
=
Z
l
;
τ
=
r
EI
M
t
l
2
;
v
=
r
ρ
f
A
f
EI
V l
;
β
=
ρ
f
A
f
M
; Ω =
ωl
2
r
M
EI
краевые и начальные условия определяются в виде
η
(0
, τ
) = 0;
η
00
(0
, τ
) = 0;
η
(1
, τ
) = 0;
η
00
(1
, τ
) = 0;
(2)
η
(
ξ,
0) = Φ(
ξ
)
,
˙
η
(
ξ,
0) = Ψ(
ξ
)
.
(3)
Здесь
Φ(
ξ
)
,
Ψ(
ξ
)
— заданные функции.
Пусть
ω
0
— основная собственная частота колебаний трубы с
жидкостью при скорости потока, равной нулю,
V
c
— критическая ско-
рость потока. Тогда имеют место соотношения [5]
ω
0
=
π
2
l
2
r
EI
M
,
V
c
=
π
l
s
EI
ρ
f
A
f
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2
67