5 / 14
значений) модели совпадают с составляющими некоторого заданного
ограниченного спектра или достаточно близки к ним [13]. Для оцен-
ки уровня рассогласования сравниваемых составляющих спектров ис-
пользован векторный способ описания. Возможные подходы основаны
на минимизации квадратичной функции рассогласования или мини-
мизации максимальной функции рассогласования составляющих. Так,
для попарно сравниваемых спектральных составляющих может быть
построено следующее конечное множество критериев рассогласова-
ния:
f
i
(
x
) =
|
ζ
i
(
x
)
−
ζ
∗
i
(
x
)
|
,
x
∈
X
⊂
R
n
,
i
∈
J
. Здесь
ζ
i
(
x
)
, ζ
∗
i
(
x
)
—
собственные значения, относящиеся к исходному (текущему) и задан-
ному спектрам;
x
— вектор переменных управления;
X
— допустимая
область;
n
— размерность задачи;
J
=
{
1
, . . . , n
}
;
R
n
—
n
-мерное ве-
щественное линейное пространство. Необходимо найти такой вектор
переменных управления, который приводит к наименьшим отличи-
ям между сравниваемыми спектрами, т.е. следует провести настрой-
ку модели объекта на заданный спектр. Это эквивалентно одновре-
менной минимизации всех
N
критериев рассогласования: требуется
найти
min
x
∈
X
⊂
R
n
f
(
x
)
, где векторная целевая функция имеет структуру
f
(
x
) = (
f
1
(
x
)
, . . . , f
N
(
x
))
т
.
Обратная задача восстановления формулируется в следующем ви-
де: определить вектор переменных управления
x
∈
X
, который мини-
мизирует максимальное значение критерия рассогласования
min
x
∈
X
⊂
R
n
max
i
∈
I
{
f
i
(
x
)
}
.
(P)
Решением сформулированной дискретной минимаксной задачи (Р)
является такой вектор
x
∗
= (
x
∗
1
, . . . , x
∗
n
)
т
, принадлежащий множеству
допустимых значений, при котором скалярная критериальная функция
f
(
x
) = max
{
f
1
(
x
)
, . . . , f
N
(
x
)
}
принимает минимальное значение.
В случае
f
(
x
∗
) = 0
спектр частот настраиваемой модели полностью
совпадает с заданным спектром по
N
низшим частотам. Последнее
условие вследствие, например, неполноты экспериментальных дан-
ных и погрешностей, полученных при измерениях, не выполняется.
Ниже рассмотрена регуляризованная задача
(P)
α
с многоэкстремаль-
ной не всюду дифференцируемой критериальной функцией
f
(
x
)
и
параметром регуляризации
α >
0
.
Далее в обобщение постановок экстремальных задач восстановле-
ния рассмотрим задачу глобальной оптимизации, формулируемую в
следующем виде:
f
(
x
∗
) = min
x
∈
X
⊂
R
n
f
(
x
)
,
(5)
где
X
=
{
x
∈
D
:
g
i
(
x
)
≤
0
, i
∈
I
}
;
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2
69