4 / 14
В современной литературе широко представлены приближенные
численные и аналитические подходы к решению задачи (1)–(3). К чис-
лу аналитических методов относится метод гомотопического возму-
щения, реализованный в работе [5]. Так, для рассматриваемой задачи
в цитируемом источнике приведены следующие результаты определе-
ния собственных частот
ω
n
изгибных колебаний трубы с протекающей
жидкостью:
(
ω
n
/ω
0
)
2
=
n
4
−
n
2
(
V/V
c
)
2
+ 16
n
6
β
(
V/V
c
)
2
×
×
X
k
6
=
n
k
2
[(
−
1)
n
+
k
−
1]
2
π
2
(
n
2
+
k
2
)(
n
2
−
k
2
)
3
, n
= 1
,
2
, . . . ,
(4)
где
n
— номер тона колебаний;
k
— индекс суммирования. Уравне-
ние (4) позволяет вычислить значения
n
низших собственных частот
колебаний системы, соответствующей используемой математической
модели. Далее на основе сравнения найденных частот с соответству-
ющими приближенными данными, полученными при измерениях, мо-
гут быть определены характеристики потока — плотность жидкости и
скорость ее течения.
Постановка обратной задачи.
Рассмотрим обратную задачу вос-
становления характеристик потока, которая в рамках выбранной ма-
тематической модели описывается операторным уравнением
Ax
=
y,
x
∈
X, y
∈
Y,
где
X, Y
— гильбертовы пространства;
A
— компакт-
ный линейный оператор, действующий из пространства
X
в простран-
ство
Y
. Правая часть возмущенного операторного уравнения предста-
вляет приближенные входные данные
y
δ
, определенные по резуль-
татам измерений. Предположим, что погрешность задания входной
информации
δ
известна и имеет место неравенство
y
δ
−
y
≤
δ
. Тре-
буется определить устойчивые приближенные решения
x
δ
по заданной
приближенной информации
y
δ
. Существенно, что во многих приложе-
ниях обратные задачи являются некорректно поставленными. Далее
реализован подход, основанный на методе регуляризации [11, 12].
Приближенное решение рассматриваемой обратной задачи связа-
но с поиском минимума функционала Тихонова
x
δ
α
= arg min
x
∈
X
J
α
(
x
)
,
α >
0
. Здесь
x
δ
α
— регуляризованное решение уравнения
Ax
=
y
δ
с
параметром регуляризации
α
; при этом минимизируемый функционал
определен в виде
J
α
(
x
) =
Ax
−
y
δ
2
Y
+
α
k
x
k
2
X
, где
Ax
−
y
δ
2
Y
—
функционал невязки (квадрат нормы в пространстве
Y
);
α
k
x
k
2
X
—
стабилизирующий функционал.
Задача восстановления характеристик потока жидкости в трубе свя-
зана с поиском вектора переменных управления, при котором пер-
вые
N
собственных частот (или соответствующих им собственных
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 2