3 / 13
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
59
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
0.
r r r r
x
(1)
Здесь
χ , , , ,
0, 1, 2
i
i
x r t i
— потенциалы смещений частиц жидко-
стей, связанные с соответствующими потенциалами скоростей
Φ , , ,
i
i
x r t
формулами
Φ
i
i
t
;
, , ,
χ
i
i
i
w x r t
— поле
смещений частиц жидкостей,
— оператор Гамильтона.
Потенциалы
, , ,
,
0, 1, 2,
i
i
x r
t
i
должны удовлетворять сле-
дующим граничным условиям:
1) условия непротекания на смачиваемых поверхностях
0
0
0;
r r
r
0
1
0;
r r
r
0
0 0
0
2
0
0;
0;
r r
x h
r
x
2
2
2 0
χ
0;
x
x
2) кинематические условия на поверхностях разделов жидкостей
1 1
0
0
1
0
1
0
χ
χ
;
x h
x
x
x
1
2 2
1
2
1
2
0
;
χ
χ
x
x h
x
x
3) динамические условия на поверхностях разделов жидкостей
0
1 1
0
2
2
0
1
0
0
1
1 0
2
2
0
0
0
;
x
x h
x
g
t
t
x
(2)
1
2 2
1
2
2
1
2
1
1
2
2 1
2
2
1
0
0
.
x
x h
x
g
t
t
x
(3)
Начальные условия для рассматриваемой задачи не являются необхо-
димыми.
Постановка вспомогательных краевых задач и их решения.
Для решения задачи представим потенциалы
0 1
χ , χ
и
2
χ
в виде:
0
0 0
1
2
2 2
2
χ
, ,
;
, ,
;
x r
t
x r
t
(4)
1 11 1
1
12 1
2
, ,
, ,
,
x r
t
x r
t
(5)
где
1
t
,
2
t
— функции времени, описывающие волновые движе-
ния поверхностей разделов жидкостей. Потенциалы
1
0 11 2 2
,
,
,
являются решениями следующих краевых задач:
0
0;
0
0
0;
r r
r
0 0
0
0
0;
x h
x
1 1
0
0
11
0
1
0
;
x h
x
x
x
(6)