4 / 13
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
11
0;
0
11
0;
r r
r
1
11
0 0
0;
x
x
1 1
0
0
11
1
0
0
;
x h
x
x
x
(7)
12
0;
0
12
0;
r r
r
1 1
12
1
0;
x h
x
1
2 2
12
2
1
2
0
;
x
x h
x
x
(8)
2
0;
0
2
0;
r r
r
2 2
2
2
0;
x h
x
2 2
1
2
12
2
1 0
.
x h
x
x
x
(9)
Решения краевых задач (6)–(9) могут быть записаны в виде [13]
1
0 0
0
1
1
0
1
ch
th
sin ;
(
s
)
h
n
n
n
n
n
n
J k r
k x h
k h
J
k h
(10)
1
1
11
1
1
1
1
ch
th
sin ;
(
sh
)
n
n
n
n
n
n
J k r
k x
k h
J
k h
(11)
1
1 1
12
1
1
1
)
ch
sin ;
(
ch
n
n
n
n
n
J k r k x h
J
k h
(12)
1
2
2
1
1
2
1
ch
th
sin .
(
sh
)
n
n
n
n
n
n
J k r
k x
k h
J
k h
(13)
В уравнениях (10)–(13)
1
n
J k r
— функция Бесселя первого рода, пер-
вого порядка;
0
,
1, 2, 3...
n n
r n
k
Чтобы выполнить динамические
граничные условия, подставим представления (4), (5) в условия (2), (3) и
получим дифференциальные уравнения для обобщенных координат
1
n
t
и
2
,
n
t
описывающих колебания слоев жидкостей:
1 2
2
1 0 0 1
1
1
1 1
2
2 1
1 2
2
1
0;
ch
0,
ch
n
n
n n n
n
n
n
n n n
n
f
k h
f
k h
(14)
где
2
1 0
2
1 0 0
γ
n
n
n
f
,
2
2 1
2
2 1
1
β
n
n
n
f
,
2
1
th
n
n n
gk k h
— парциальные
частоты колебаний верхней, нижней поверхностей раздела и свобод-
ной поверхности среднего слоя жидкости при
0
ρ 0
;
0
n
f
1
0
th cth ;
n
n
k h k h
1
1
2
th t
.
c h
n
n
n
f
k h k h