5 / 13
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
61
Умножим уравнение (14) на величину
3
0
1
2
2tg
,
1
n
n n
r
k h
v
получим
иную запись дифференциальных уравнений для обобщенных коорди-
нат
1
n
и
2
:
n
2
2
0 0 1
0
1
1
1
2
1
2
2
1
0;
ch
0,
ch
n n
n
n n n
n
n n n
n
n n
n n n n
n
n n n
n
m
m f m
m m
k h
m
m f
m
m m
k h
(15)
где
0
0
,
n
m v
1
,
n
m v
2
,
n
m v
0
,
и
n n
n
m m m
— приведенные мас-
сы колеблющихся слоев жидкостей.
Определим собственные частоты главных колебаний трех слоев
жидкостей, полностью заполняющих сосуд (рис. 2). Перепишем урав-
нение (14) в виде
1 2
2
1
1
1 0 0
1
1 1
2
2
2
2 1
1
1
0;
ch
0.
ch
n
n n n
n
n
n
n n n
n
n
f
k h
f
k h
(16)
Приняв
1
1
2
1
sin
,
sin
n
n
A pt
C pt
, получим определитель
относительно неизвестных амплитуд
1
A
и
1
.
C
Равенство нулю опреде-
лителя приводит к частотному уравнению
4
2
0.
ap bp c
(17)
Здесь
1;
a
2 2
2
1 0 0
2 1
1
1
2
2
1 0 0 2 1
1
1
1
ch
ch
n n
n
n
n
n
n
n
f
f
k h
b
f
f
k h
;
(18)
2 2
2
1 0 0 2 1
1
1
2
2
1 0 0 2 1
1
1
1
ch
.
ch
n n
n
n
n
n
n
n
f
f
k h
c
f
f
k h
(19)
Зависимости главных частот
2
2
1,2
1,2 _ 0
p gp r
от изменения отно-
сительных плотностей жидкостей
0 _ 0
1
2 1
2 _
ρ ρ ρ , ρ ρ ρ
и от отно-
сительной глубины среднего слоя жидкости
1
1_
0
h h r
при постоян-
ных значениях
0 _ 0 0
h h r
и
2
2 _
0
h h r
приведены на рис. 3 и рис. 4.