Оценки диэлектрической проницаемости композита с включениями в виде эллипсоидов вращения

Оценки диэлектрической проницаемости композита с включениями в виде эллипсоидов вращения

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4

других ортогональных направлениях, то в качестве приемлемой геометрической

модели, описывающей форму такого включения, можно принять эллипсоид

вращения. Эта модель может быть использована и для описания формы неко-

торых наноструктурных элементов, которые в последнее время рассматривают

как включения для перспективных композитов различного назначения [5].

Частный случай дисперсного включения эллипсоидальной формы — шаро-

вое включение. Для композита с шаровыми включениями предложены различ-

ные варианты расчетных формул, позволяющих прогнозировать зависимость

его эффективной диэлектрической проницаемости от диэлектрических харак-

теристик включений и матрицы, а также от объемной концентрации включений

[2, 3, 6]. Наряду со смесевыми моделями [1, 6], методами осреднения [7, 8] и

теории случайных функций [9], обычно используемыми при анализе дисперс-

ных систем, применение вариационных подходов [10–12] дает возможность по-

лучить двусторонние границы диэлектрической проницаемости композита,

между которыми заключено ее истинное значение, и оценить наибольшую воз-

можную погрешность, возникающую при использовании той или иной матема-

тической модели. Такие границы можно установить на основе двойственной

вариационной формулировки задачи для потенциального поля в неоднородном

твердом теле [13]. Эта формулировка содержит два альтернативных функцио-

нала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном ре-

шении задачи одинаковые экстремальные значения.

Сравнительный анализ различных подходов к построению математических

моделей, позволяющих оценивать диэлектрическую проницаемость композита

с шаровыми включениями, проведен в работе [14]. В настоящей статье некото-

рые из этих подходов обобщены применительно к композиту с включениями в

виде эллипсоидов вращения. В силу аналогии между математическими форму-

лировками задач электростатики и стационарной теплопроводности использо-

ваны некоторые методы [15], которые позволяют определить эффективное зна-

чение коэффициента теплопроводности композита с эллипсоидальными вклю-

чениями, являющееся аналогом эффективной диэлектрической проницаемости

такого композита.

Аналогия с задачей стационарной теплопроводности.

Пусть изотропное

включение с заданным значением диэлектрической проницаемости



имеет

форму эллипсоида вращения и расположено в неограниченном объеме изо-

тропной однородной среды с заданным значением диэлектрической проницае-

мости



Введем цилиндрическую систему

Or z



координат с началом в центре

эллипсоида и координатной осью

совпадающей с его осью вращения. По-

луось эллипсоида вдоль оси вращения и его наибольший радиус обозначим че-

рез

Если на большом расстоянии от начала координат по сравнению с

наибольшим из значений радиуса

или

задать однородное электростатиче-

ское поле с вектором напряженности

направленным параллельно коорди-

натной оси

то не зависящие от угловой координаты



и удовлетворяющие