4 / 16
Оценки диэлектрической проницаемости композита с включениями в виде эллипсоидов вращения
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
43
композита, то формально допустимо рассматривать изменение значения кон-
центрации
V
C
во всем диапазоне от нуля до единицы.
Поместим эллипсоидальный представительный элемент структуры компо-
зита в неограниченный объем прежней однородной изотропной среды, совме-
стив центр эллипсоида с началом выбранной выше цилиндрической системы
координат, а его ось вращения — с координатной осью
.
Oz
Тогда в однородной
среде и в этом элементе при прежних условиях задания электростатического
поля возникнут соответствующие распределения электрического потенциала
0
0
0
*
*
*
*
*
(
)
=
,
=
,
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z
E G z
E z
U E z
U
G
G
(6)
где
*
z
— эффективное значение диэлектрической проницаемости составной
частицы в направление оси
.
Oz
Различие величин
z
G
и
z
G
заключается в том,
что в формулах (4) и (5) эксцентриситет
e
следует заменить величиной
2 2
2
1/2
=((
)/(
))
r
z
r
e
B B B
, а параметр
определять из решения уравнения (3)
после замены в нем радиусов
z
b
и
r
b
величинами
z
B
и
.
r
B
Слагаемые
0
0
*
*
*
(
)
(
)
=
,
=
(
)
(
)
z
z
z
z
z
z
E G z
E G z
U
U
G
G
в правых частях первых формул (1) и (6) характеризуют возмущения в однород-
ной среде заданного однородного электростатического поля, вызванные вклю-
чением и представительным элементом структуры композита. Если принять
= ,
m
то отношение этих возмущений с увеличением расстояния от начала
координат должно стремиться к единице, что при
= 0
r
можно представить в
виде условия
*
*
*
(
)(
(
) )
=
=1,
lim
lim
(
)(
(
) )
m z m
m z
z
z
z
m m z
m z
z
U
G G
U
G G
(7)
поскольку от координаты
z
неявно зависит лишь отношение
/ .
z z
G G
В случае наличия включения при
= 0
r
из уравнения (3) получим равенство
2 2
= ,
z
z b
а в случае представительного элемента структуры композита — ра-
венство
2 2
= ,
z
z B
т. е.
и
при
.
z
Предел в равенстве (7)
найдем для эллипсоидов вращения, при этом для включения величину
z
G
определяют по формуле (2). Для представительного элемента при расчете вели-
чины
z
G
в формуле (2) радиусы
z
b
и
r
b
следует заменить полуосями
z
B
и
.
r
B
При
оба интеграла, определяемые по формуле (2), стремятся к нулю. По-
этому при вычислении предела для раскрытия неопределенности типа
0 / 0
продифференцируем эти интегралы по нижнему пределу
2
2 3/2
2
2
2 3/2
2
(
) (
) 1
=
= .
lim
lim (
) (
)
z
z r
z
r
u
z
z r
z
r
V
G B B u b u b
G b b
u B u B C