3 / 16
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
уравнению Лапласа распределения электрического потенциала
U
в окружаю-
щей однородной среде и во включении
U
будут аналогичны соответствующим
распределениям температуры при задании на большом расстоянии от начала
координат температурного поля с градиентом, коллинеарным вектору напря-
женности
.
0
E
Используя результаты, полученные в работе [16], запишем
0
0
0
(
)
=
,
=
,
(
)
(
)
z
z
z
E G z
E z
U E z
U
G
G
(1)
где
0
=| |;
E
0
E
2
2
2 3/2
=
;
2 (
)(
)
z r
z
r
z
b b
du
G
u b u b
(2)
— положительный корень алгебраического уравнения
2
2
2
2
=1,
r
z
r
z
b
b
(3)
а
=
z
z
G G
при
= 0.
Отметим, что первое слагаемое в правой части первого ра-
венства (1) определяет распределение электрического потенциала
0
( )=
U z E z
невозмущенного электростатического поля, а второе слагаемое — возмущение
этого поля, вызванное наличием эллипсоидального включения.
Интеграл в формуле (2) можно выразить через элементарные функции и
для сфероида (сплющенного эллипсоида вращения), в результате вместо фор-
мулы (2) запишем [16]
2 1/2
2 1/2
3
2 1/2
(1 )
(1 )
=
,
arcctg
(1 )
z
e
e
e
G
e
e
e
(4)
где
2 2 2
1/2
=((
)/(
)) ,
r
z
r
e b b b
а
e e
при
= 0,
т. е. равно эксцентриситету эл-
липса, образующегося при вращении сфероида. Для вытянутого эллипсоида
вращения (
>
z
r
b b
) из формулы (2) следует
2
3
1
1 1
=
ln
.
2 1
z
e
e
G
e
e
e
(5)
Представительный элемент структуры композита.
Рассмотрим составную
частицу в виде эллипсоида вращения с полуосями
z
B
и
,
r
B
геометрически по-
добную включению и образованную путем его покрытия слоем изотропного
материала матрицы c диэлектрической проницаемостью
.
m
Если все включе-
ния геометрически подобны между собой, то эту частицу можно полагать пред-
ставительным элементом структуры композита, обладающим искомыми ди-
электрическими характеристиками этого композита. Условием геометрического
подобия является равенство
/ = / ,
z r
z r
B B b b
из которого следует формула для
объемной концентрации включений
2
2
= /(
).
V z r
z r
C b b B B
Если принять, что раз-
меры составной частицы могут изменяться от некоторых конечных значений до
бесконечно малых значений и такими частицами можно заполнить весь объем