Автомодельное решение задачи теплопереноса в твердом теле, содержащем сферический очаг разогрева с теплопоглощающим покрытием

3 / 10

Автомодельное решение задачи теплопереноса в твердом теле…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4 99
Здесь условие (7) означает, что при каждом фиксированном значении Fo 0
функция  
, Fo   интегрируема с квадратом и весом 2  по радиальному пере-
менному 
1, .   
В математической модели (1)–(7) использованы следующие безразмерные
переменные и параметры:
0 0 с 0
2
0 0 с0 0 с0 0 0
Δ
Fo ; ; ; ; ; at r r T T T T
R
r r r T T T T
  
       
 
 
2
п 0
0
п с0 0
; ; Bi ; ; a qr
r f
a T T
 
     
   
( , ) T r t — температура в момент времени t в точках изотропного пространства,
отстоящих от центра шаровой полости на расстоянии с0 ; r T — начальная тем-
пература внешней среды; п п , , , a a   — теплопроводность и температуропро-
водность твердого тела и покрытия соответственно;  — коэффициент теплоот-
дачи. Функции     Bi Fo , Fo согласно решаемой задаче могут принимать
лишь неотрицательные значения и удовлетворяют условиям Гельдера [15].
Для достижения основной цели проведенных исследований используем
допущение 3 [4]. Умножив левую и правые части уравнения (2) на   1
3 3 1R 
 с
последующим интегрированием по переменной  в пределах от 1 до R и вос-
пользовавшись равенствами (4)–(6), получим
             

 
      
        

   
1 2
0
Fo , Fo Bi Fo Fo Fo Fo ,
Fo R
d R Q
d
где     1 3
3 1 R 
   — определяющий безразмерный параметр реализуемой
модели «сосредоточенная емкость», который по смыслу решаемой задачи может
принимать только положительные значения;     2
1
Fo , Fo
R
Q f d      — инте-
гральная величина, характеризующая реализуемый режим теплопоглощения в
покрытии.
Учитывая очевидные равенства
   
   
  
  
    
    

0
0
Fo , Fo , Fo 0;
, Fo Fo
, Fo 0,
Fo Fo
R
R
d
d
запишем искомую математическую модель