5 / 10
Автомодельное решение задачи теплопереноса в твердом теле…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
101
и введенных обозначений
, Fo ;
Fo Bi Fo
U V
h
R
(12)
смешанная задача (4) эквивалентна краевой задаче
2
2
0,
0;
2
d U dU
d
d
(13)
0
0
Fo Fo
Fo ;
dU
U
f
d
(14)
2
0,
,
U L
(15)
где
2
1
Fo
Fo ; Fo
Fo Bi Fo Fo Fo .
R h
f
Rh
Q
(16)
Отметим, что начальное условие при
Fo 0
в смешанной задаче (10) в автомо-
дельных переменных (11) будет иметь вид краевого условия задачи (13)–(15),
заданного при
.
Непосредственный анализ краевой задачи (13)–(15) показывает, что ис-
пользуемая подстановка (11) позволяет получить автомодельное решение при
выполнении условий
0
Fo
const;
f
f
(17)
0
Fo Fo
const,
(18)
где
0
0
0,
0 —
f
постоянные. В этом случае искомое автомодельное решение
будет обладать свойством изменения со временем только масштаба автомодель-
ного переменного
0,
в то время как масштаб искомой функции
U
оста-
ется неизменным.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (7) находим стан-
дартными методами:
( ) (0) (0) 1 erfc ,
0,
2
U U U
(19)
где
erfc —
дополнительная функция ошибок Гаусса [2]; знак «
'
» обозначает
производную по переменной
.
Используя равенство (19), с учетом условий автомодельности (17), (18) и
краевых условий (14), (15) находим безразмерную температуру
(0)
U
, Fo
R R
границы сферического очага разогрева в изучаемом автомодель-
ном режиме теплопереноса:
0
0
0
0
.
1
U f
(20)