11 / 17
Сравнительный анализ оценок теплопроводности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
77
1
( )
( )
2
2
2
2
2
1
1
=
.
(
( )
( )
n
n
n
R
b r
r
Последовательное соединение
N
термических сопротивлений дает сопро-
тивление
1
( )
2
2
=1 2
1
1
.
( 1)
( )
N
n
n
b
r
Переходя к пределу при
,
N
получаем уточненную нижнюю оценку
термического сопротивления
:
r
R
1
2 2
0 2
1
1 ˆ =
.
( 1)
r
r
d
R
b
r
(19)
Для построения нижней оценки величины
*
1
необходимо использовать
распределение вектора плотности теплового потока в рассматриваемой ячейке,
допустимое для максимизируемого функционала (13). Такое распределение
можно получить, представив исходную прямоугольную ячейку (см. рис. 2) сово-
купностью двух параллельных полос одинаковой длиной
1
,
b
разделенных адиа-
батической границей [18]. В пределах каждой полосы модуль вектора плотности
теплового потока постоянен и имеет единственную составляющую, параллель-
ную координатной оси
1
.
O
Термическое сопротивление одной из полос шири-
ной
2
b r
равно
1 1
2
=( / )/(
),
R b
b r
а термическое сопротивление
r
R
другой
полосы шириной
,
r
включающей в себя четверть поперечного сечения волокна,
можно оценить сверху значением [14]
2
1
= /(2 )
,
r
r
r
R T I R
где в соответствии с
формулой (13) имеем
2
2
1
1
= (
(1/ 1) / 4) /(2 )
.
r
r
r
I
q b r
r
T q r
Значение составляющей
= const
r
q
вектора плотности теплового потока в
полосе шириной
r
из условия
/ =0
r
r
dI dq
максимума функционала (13) равно
1 1
= /( (1/ 1) / 4).
r
q
T b
r
Последовательно вычисляя значения
r
I
и
,
R
находим нижнюю оценку
2
1
1
1
1
1
(
)
=
=
.
(1/ 1) / 4
r
b r
r
R R
b
b
r
(20)
Аналогично уточнению нижней оценки термического сопротивления
r
R
можно провести уточнение верхней оценки термического сопротивления
R
и
получить
2
2 2
0 1
2
1 ˆ =
.
( 1)
r
r
d
R
b
r
(21)
Интегралы в формулах (19) и (21) можно представить достаточно громозд-
кими соотношениями, содержащими элементарные функции [19]. Однако при