6 / 17
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
72
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
2
1 2
3
2
2
3
3
3 1 2 3
3
3
3
=
(( ) (1 )
)
( (1 )
),
2
V
V
V
V
T B B
I
q
C q C U B B q C q C
B
где
=1/ ,
=1/
— главные значения тензора
ˆ
в формуле (8) при рас-
положении точки
M
в подобласти, занятой матрицей или волокнами. После
подстановки в приведенное равенство формул для составляющих вектора плот-
ности теплового потока получим значение
3
,
I
совпадающее со значением
3
J
(10). Таким образом, в соответствии с соотношением (9) следует принять
*
3
3
[ ]= .
J T J
Если композит принадлежит области
V
с однородной анизотропной сре-
дой и искомыми эффективными характеристиками композита, определяемыми
тензором
*
,
λ
то принятое выше распределение температуры будет при такой
замене истинным:
*
3
3 3 3
( )= / .
T x T x B
Тогда из формулы (5) получим
1 2
*
* 2
3
3 3
3
[ ]=
2
B B
J T T
B
и с учетом равенства (10) запишем
*
3
= (1
).
V
V
C C
(11)
Оценка (11) совпадает с известной формулой, получаемой обычно с применени-
ем правила смеси [7, 10]. Следует отметить, что оценка
*
3
достаточно хорошо
согласуется с немногочисленными экспериментальными данными измерения
коэффициента теплопроводности однонаправленного волокнистого композита
вдоль волокон [2, 5].
Теплопроводность композита поперек волокон.
Если на противополож-
ных гранях
1
= 0
x
и
1 1
=
x B
(или
2
= 0
x
и
2 2
=
x B
) параллелепипеда задать зна-
чения температуры
= 0
T
и
1
=
T T
(или
= 0
T
и
2
= ),
T T
а остальные грани пола-
гать идеально теплоизолированными, то каждое сечение этого параллелепипе-
да, перпендикулярное координатной оси
3
,
Ox
допустимо рассматривать неза-
висимо, т. е. задачу установившейся теплопроводности свести к двумерной в
прямоугольнике со сторонами
1
B
и
2
,
B
параллельными координатным осям
1
Ox
и
2
.
Ox
Начало системы координат
1 2
Ox x
выберем в вершине прямоуголь-
ника. В двумерном случае минимизируемый функционал (4) примет вид
1 [ ]= ( ( )) ( )
( ) ( ),
,
2
F
J T
T M M T M dF M M F
λ
(12)
где
1 2
=
F B B
— площадь прямоугольника; при задании на гранях
1
= 0
x
и
1 1
=
x B
параллелепипеда значений температуры
= 0
T
и
1
=
T T
функционалу (8) будет
соответствовать максимизируемый функционал
1 1
1
ˆ
[ ]= ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ),
.
2
F
I q
M M M dF M T q P d P P
q
q
(13)