7 / 17
Сравнительный анализ оценок теплопроводности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
73
Здесь
1
( )
q P
— проекция вектора
q
на координатную ось
1
Ox
в точках
P
стороны
прямоугольника длиной
2
,
B
на которой задано значение темпера-
туры
1
.
T
Вместо равенства (5) теперь следует записать
*
*
*
1 [ ]= (
( )) ( )
( ) ( ).
2
F
J T
T M M T M dF M
λ
(14)
При этом соотношение (9) сохраняет силу в виде
*
*
[ ] [ ]= [ ] [ ].
J T J T I
I
q q
(15)
Волокна в плоскости прямоугольника будут представлены круговыми по-
перечными сечениями радиусом
,
r
равным радиусу волокон. При хаотическом
расположении поперечных сечений волокон все направления в плоскости пря-
моугольника равноправны, а эффективные характеристики теплопроводности
композита не зависят от выбора конкретного направления, т. е. композит в этой
плоскости является изотропным с искомыми главными значениями
*
*
1 2
=
тен-
зора теплопроводности
*
,
λ
а с учетом главного значения
*
3
будет трансвер-
сально изотропным относительно координатной оси
3
,
Ox
параллельной волок-
нам. Тогда при выборе в прямоугольнике допустимого для функционала (12)
одномерного распределения температуры
1
1 1 1
( ) = /
T x T x B
значение этого функ-
ционала составит
2
1
2 1
1
1
=
,
2
V V
C C
J
T B
B
где
= / .
Для функционала (13) в качестве допустимого распределения вектора
q
примем постоянное значение
1
q
единственной составляющей вектора, соответ-
ствующей его проекции на координатную ось
1
,
Ox
и запишем
2
1 2 1
1
1 2 1
=
( (1 )
)
.
2
V
V
q B B
I
C C T B q
Здесь
=1/
— главное значение тензора
ˆ
в формуле (13) при расположе-
нии точки
M
в подобласти, занятой волокнами. Значение
1
q
следует из необхо-
димого условия
1
1
/
= 0
dI dD
максимума функционала (13) и равно
1
1 1
= ( / ) /(1
/ ),
V V
q
T B C C
= / .
В результате находим
2
2
1
1
1
/ (2 )
=
.
1
/
V V
T B B
I
C C
В случае однородной среды с оцениваемым главным значением
*
1
тензора
*
λ
эффективной теплопроводности композита принятое рспределение темпе-