8 / 17
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
74
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
ратуры является истинным, поэтому согласно равенству (14) получим
*
* 2
1 2
1
1
[ ]=
/(2 ).
J T T B B
Используя значения
1
,
J
1
,
I
*
[ ]
J T
и соотношение (15),
определяем двусторонние оценки
*
1
1
1
1
1
1
1
= =1
=
= = .
1
/
V V
V V
C C
C C
(16)
Аналогично можно независимо получить идентичные оценки главного значе-
ния
*
*
2 1
= ,
если задать значения
= 0
T
и
2
=
T T
на сторонах
2
= 0
x
и
2 2
=
x B
прямоугольника, полагая стороны
1
= 0
x
и
1 1
=
x B
идеально теплоизолирован-
ными.
Определяемые по соотношению (16) двусторонние оценки совпадают при
= 0
V
C
и теоретически возможном значении
=1,
V
C
если принять, что радиус
волокон является переменным, убывая от некоторого конечного значения
r
до
бесконечно малого (это позволяет заполнить волокнами весь объем композита).
При промежуточных значениях
(0; 1)
V
C
разность
1 1
возрастает по мере
отклонения параметра
от единицы. Если в качестве главного значения
*
*
1 2
=
тензора теплопроводности композита выбрать полусумму полученных
оценок, то отношение
1
1
1
1
=(
) /(
)
можно рассматривать как
наибольшую возможную относительную погрешность, которая может возник-
нуть при таком выборе. Наибольших значений
=1 1/(1 ( 1/ 2) / 8)
m
относительная погрешность достигает при
=1/ 2.
V
C
Двусторонние оценки можно сблизить, если использовать подход, предло-
женный в работе [16], что приводит к соотношению
2
*
1
1
1
(
) (1 )
ˆ =
(1 )
max{ ,
}
V
V
V
V
C C
C C
2
1
(
) (1 )
ˆ= .
(1 )
min{ ,
}
V
V
V
V
C C
C C
(17)
Такие же оценки можно получить, если применить сингулярное приближение
теории случайных функций [8].
Зависимости погрешности
и
*
1
1
1
1
ˆ ˆ ˆ ˆ
= (
) / (
)
от объемной кон-
центрации
V
C
при различных значениях
>1
приведены на рис. 1. Зависимо-
сти
( )
V
C
одинаковы для значений
и
1/ ,
а кривая
при фиксированном
значении
совпадает с кривой для значения
1/
при условии замены абсцис-
сы
V
C
абсциссой
1 .
V
C
Сравнение показывает, что использование оценок,
определяемых по соотношению (17), существенно уменьшает наибольшую воз-
можную относительную погрешность при
0,1< <10,
если за значение
*
1
вы-
брать полусумму этих оценок. Однако при
>10
и
<0,1
происходит сближе-