10 / 17
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
76
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
2
=
r b
и максимально достижимое значение объ-
емной
концентрации
волокон
составляет
2 1
( / 4) / .
V
C
b b
В частном случае квадратных
ячеек
*
=
V V
C C
/ 4 0, 7854.
При задании на сторонах
1
= 0
и
1 1
=
b
зна-
чений
= 0
T
и
1
=
T T
температуры и идеально теп-
лоизолированных сторонах
2
= 0
и
2 2
=
b
одну
из оценок главного значения
*
1
тензора эффек-
тивной теплопроводности композита можно по-
лучить, если принять все изотермические линии в прямоугольной ячейке парал-
лельными координатной оси
2
.
O
Такое распределение температуры является
допустимым для минимизируемого функционала вида (12), соответствующего
двумерной задаче установившейся теплопроводности. Поэтому оценка, построен-
ная с использованием этого функционала, будет верхней оценкой значения
*
1
,
которую можно представить в виде
1
=1/ ,
R
где
R
— нижняя оценка терми-
ческого сопротивления рассматриваемой ячейки в направлении координатной
оси
1
.
O
Термическое сопротивление
R
включает в себя термическое сопротив-
ление
1
2
=(
)/( )
R b r b
полосы шириной
2
b
и длиной
1
b r
с коэффициентом
теплопроводности
материала матрицы и термическое сопротивление
r
R
поло-
сы шириной
2
b
и длиной
,
r
содержащей четверть кругового поперечного сечения
волокна с коэффициентом теплопроводности
и фрагмент поперечного сече-
ния матрицы.
При линейном распределении температуры в пределах полосы толщиной
r
минимизируемый функционал вида (12) будет равен
2
2
2
2 1
1
= (
( 1) / 4) /(2 ),
r
J
T b r
r
b
а оценка снизу термического сопротивления
r
R
[14] —
2
1 1
2
( / )
/
=
=
.
2
( 1) / 4
r
r
r
T r b
r
R
R
J
b
r
В результате получим верхнюю оценку
1
1
2
2
1 =
=
.
(
) / ( ) / ( ( 1) / 4)
r
R R b r
b r b
r
(18)
Оценку термического сопротивления
r
R
можно уточнить, если представить
полосу шириной
2
b
и длиной
,
r
содержащей четверть кругового поперечного
сечения волокна (см. рис. 2), совокупностью
1
N
параллельных координат-
ной оси
2
O
полос одинаковой шириной
2
b
и малой толщиной
1
= / .
r N
Термическое сопротивление полосы с номером
1,
n N
и координатой
( )
1
(0; )
n
r
составит
Рис. 2.
Расчетная схема прямо-
угольной ячейки