12 / 17
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
78
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
количественном анализе полученных расчетных соотношений удобнее значения
этих интегралов находить численно, используя достаточно точные квадратур-
ные формулы.
Аналогично можно определить двусторонние оценки главного значения
*
2
тензора эффективной теплопроводности ортотропного композита. Отличие
двусторонних оценок от полученных выше оценок
1
и
1
состоит лишь во
взаимной замене параметров
1
b
и
2
.
b
При
2 1
=
b b
эти оценки определят грани-
цы возможных значений
*
*
2 1
=
для трансверсально изотропного композита в
случае расположения центров поперечных сечений волокон в узлах квадратной
сетки.
Количественный анализ расчетных зависимостей.
В целях сокращения
объема исходных данных количественный анализ полученных расчетных зави-
симостей проведем при условии
1 2
= ,
b b
что соответствует квадратным ячейкам
(см. рис. 2), свойству трансверсальной изотропии композита относительно ко-
ординатной оси
3
Ox
с главным значением
*
3
тензора эффективной теплопро-
водности и равенству
*
*
1 2
=
двух остальных главных значений этого тензора.
Для более рационального использования масштаба рисунков все результаты
расчетов нормируем по верхней оценке
1
главного значения
*
1
,
определяе-
мой по соотношению (16).
Зависимости отношения
1 1
/ =
(пунктирные линии) от безразмерного
радиуса
2
= /
r r b
волокна при значениях
= 4
и
= 20
приведены на рис. 3.
Пунктирная линия с наименьшей ординатой, равной примерно 0,64 при
0, 8,
r
ограничивает снизу область возможных значений отношения
*
1 1
/
при
= 4.
Нижняя граница аналогичной области при
= 20
— пунктирная ли-
ния с наименьшей ординатой около 0,18 при
0, 8.
r
Сплошные и штрихпунктирные линии с кружками (светлыми при
= 4
и
темными при
= 20
) построены по соотношению (17) и соответствуют отноше-
ниям
1 1
ˆ / =
и
1 1
ˆ / =
(см. рис. 3). Сплошными и штриховыми линия-
ми с квадратами (светлыми при
= 4
и темными при
= 20
) показаны рассчи-
танные по формулам (18) и (20) и отнесенные к величине
1
двусторонние
оценки
и
,
учитывающие расположение поперечных сечений волокон в
узлах квадратной ячейки. Такие же линии без символов соответствуют уточ-
ненным оценкам
и
,
которые получены с использованием формул (19) и
(21). Отличие линий без символов от линий с квадратами увеличивается по ме-
ре возрастания параметра
r
и становится существенным при
> 0, 8.
r
Заключение.
Использование двойственной вариационной формулировки
задачи установившейся теплопроводности в неоднородном анизотропном твер-
дом теле позволило провести последовательное уточнение и сближение двусто-
ронних границ областей, в которых расположены главные значения тензора
эффективной теплопроводности однонаправленного волокнистого композита.