12 / 18
Экспериментальное исследование устойчивости обращенных стабилизируемых маятников
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
33
справочной литературы; 2) применение разложения собственных значений
функций Матьё целого порядка в степенные ряды; 3) вычисление собственных
значений с помощью систем компьютерной математики (например,
Wolfram
Mathematica
).
Используем разложение собственных значений функций Матьё в степенные
ряды для построения правой границы области простого резонанса нулевого по-
рядка
0 0
( )
a ce
(нижняя граница области устойчивости обращенного маятника):
2
4
6
8
10
0
0 0
1
7
29
68687
( )
( )
( ).
2 128 2304 18874368
a q a ce
q
q
q
q O q
Для левой границы простого резонанса первого порядка
1 1
( )
b se
(верхняя
граница области устойчивости обращенного маятника) имеем
2
3
4
5
1
1 1
6
7
8
9
1 1
1
11
( ) ( ) 1
8 64 1536 36864
49
55
265
( ).
589824 9437184 113246208
b q b se
q q
q
q
q
q
q
q O q
Экспериментальные границы областей устойчивости трех маятников опре-
делены на оригинальной вибрационной установке с высокочастотным возбуди-
телем колебаний. Краткое описание средств испытаний и методики проведения
экспериментов по определению области устойчивости тройного маятника при-
ведено в работе [17]. Здесь использованы те же средства и аналогичная методи-
ка испытаний при экспериментах с тремя маятниками.
Результаты расчетного и экспериментального определения областей устойчи-
вости одинарного, двойного и тройного маятников представлены на рис. 4. Расчет-
ные результаты для граничных линий по методике, описанной в работе [18], пока-
заны сплошными линиями, по маятниковой теореме Д. Ачесона [16] —
штрихпунктирными линиями. Области устойчивости, найденные по методике,
приведенной в работе [18], выделены голубым цветом.
Результаты расчетов нижней границы областей устойчивости трех рассмот-
ренных маятников по методике [18] практически совпали (линии наложились
друг на друга) с результатами, полученными по маятниковой теореме [16]. Для
верхней границы результаты, полученные по маятниковой теореме, заметно
отличаются.
Диапазон параметров возбуждения представленный в настоящей работе по
сравнению с результатами для тройного маятника, приведенными в [17], рас-
ширен с выходом за общую точку верхней и нижней границ. Получить экспе-
риментальные результаты для верхней границы не удалось вследствие почти
мгновенного нарастания амплитуды колебаний, вплоть до разрушения модели.
Эффект динамической неустойчивости при прохождении верхней границы об-
ласти устойчивости наблюдался в эксперименте, вероятно, впервые. Поскольку
для двойного и особенно для тройного маятника расчетная верхняя граница