Величина
˘
T
является изотропным натяжением:
˘
T
=
Kα
. Этот ре-
зультат можно получить из выражения (2), если не делать предположе-
ния о постоянстве площади (
α
= 0
). Поскольку деформация площади
мала, значение
˘
T
также мал´о, что будет показано далее.
Условие неизменности элемента площади поверхности имеет вид
r
0
dϕ dr
0
=
r dϕ dr.
(7)
Индекс 0 соответствует недеформированному состоянию. В каче-
стве независимых переменных приняты координаты
r
0
, а описание
напряженно-деформированного состояния проводится в координатах
Лагранжа. С учетом (7) радиальная (
λ
1
) и окружная (
λ
2
) деформации
определяются соотношениями
λ
2
=
r
r
0
;
λ
1
=
dr
dr
0
=
r
0
r
λ
1
λ
2
= 1
⇒
λ
1
=
1
λ
2
=
r
0
r
.
(8)
Подставив соотношения (8) в (6), т.е.
T
r
=
μ
2
λ
2
1
−
λ
2
2
+ ˘
T
=
μ
2
r
2
0
r
2
−
r
2
r
2
0
+ ˘
T ,
T
t
=
−
μ
2
λ
2
1
−
λ
2
2
+ ˘
T
=
−
μ
2
r
2
0
r
2
−
r
2
r
2
0
+ ˘
T ,
и далее в (1), получим дифференциальное уравнение
dT
r
dr
=
μ
r
r
2
0
−
r
2
0
r
3
,
которое с учетом
dr
=
r
0
r
dr
0
примет вид
dT
r
dr
0
=
μ
1
r
0
−
r
3
0
r
4
.
(9)
Таким образом, разрешающая система нелинейных дифференциаль-
ных уравнений, описывающих напряженно-деформированное состоя-
ние мембраны в окрестности поры, имеет вид
dT
r
dr
0
=
μ
1
r
0
−
r
3
0
r
4
;
dr
dr
0
=
r
0
r
(10)
Для расчета используются граничные условия
T
r
(
r
01
) =
T
1
,
T
r
(
r
02
) =
T
1
,
(11)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 2
93
