координат) переменные;
u
i
=
x
i
−
a
i
— компоненты вектора переме-
щения (
i
= 1
,
2
;
x
1
=
x
,
x
2
=
y
). Уравнения движения записаны в
лагранжевых переменных:
ρ
0
∂
2
u
i
∂ t
2
=
∂L
ij
∂a
j
+
ρ
0
/ρF
i
,
(5)
где
F = j
×
H
— сила Лоренца (ее часто называют амперовой понде-
ромоторной силой), действующая на тело;
L
ij
— тензор напряжений
Лагранжа. Для линейно-упругой среды он задается следующим выра-
жением [13]:
L
ij
=
∂x
i
∂a
k
(2
μγ
kj
+ (
λI
1
−
β
(
T
−
T
0
))
δ
kj
)
,
(6)
где
λ
и
μ
— коэффициенты Ламе;
β
= (3
λ
+2
μ
)
α
T
;
α
T
— коэффициент
линейного теплового расширения.
Тензор деформаций и два его первых инварианта имеют вид
γ
kl
=
1
2
∂u
k
∂a
l
+
∂u
l
∂ a
k
+
∂u
m
∂a
k
∂u
m
∂ a
l
, I
1
=
γ
ii
, I
2
=
γ
ij
γ
ij
.
Здесь использовано правило суммирования по повторяющимся индек-
сам.
Посколькув процессе движения возникают значительные дефор-
мации лайнера, то в тензоре деформаций учтены квадратичные слага-
емые.
Соответствующее уравнение энергии записано в виде уравнения
теплопроводности [9]:
ρ
0
c
γ
∂ T
∂ t
+
βT
∂ I
1
∂ t
=
∂
∂a
i
κ
(
T
)
∂T
∂a
i
+
ρ
0
/ρφ,
где
c
γ
— удельная массовая теплоемкость при постоянной деформа-
ции,
κ
(
T
)
— коэффициент теплопроводности,
φ
= (jE)
— мощность
тепловыделения.
Математическая модель жидкого лайнера.
Для описания движе-
ния вязкой несжимаемой жидкости использована система уравнений
Навье–Стокса [9–10] (в эйлеровых координатах):
ρ
∂
v
∂t
+ (v
∇
)v =
−
grad
p
+
η
Δv + F;
div
v = 0
.
(7)
Здесь
p
— гидродинамическое давление;
η
=
ρν
— коэффициент дина-
мической вязкости;
ν
— коэффициент кинематической вязкости.
Уравнение теплопроводности для данной модели имеет вид
ρ
0
c
γ
∂T
∂t
+ (v
∇
)
T
=
div
(
κ
(
T
)
grad
T
) +
φ,
70
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
